魔方轉(zhuǎn)出的“上帝之?dāng)?shù)”

2008年7月，來自世界各地的魔方玩家聚集在捷克共和國(guó)東北部的帕爾杜比采，參加魔方界的重要賽事：捷克公開賽，在這次比賽上，荷蘭玩家阿克斯迪杰克創(chuàng)下了一個(gè)驚人的紀(jì)錄：只用7.08秒就復(fù)原了一個(gè)顏色被徹底打亂的魔方。

那么，最少需要多少次轉(zhuǎn)動(dòng)，才能確保無論什么樣的顏色組合都能被復(fù)原呢?這個(gè)問題引起了很多人。尤其是數(shù)學(xué)家的興趣，這個(gè)復(fù)原任意組合所需的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)被數(shù)學(xué)家們戲稱為“上帝之?dāng)?shù)”，但是不同組合方式共有4325億億次。顯然這個(gè)巨大的數(shù)字成為人們窺視“上帝之?dāng)?shù)”的攔路虎——哪怕用一億臺(tái)機(jī)器同時(shí)計(jì)算，也要超過一千萬(wàn)年的時(shí)間才能完成。

看來蠻干是行不通的，從數(shù)學(xué)的角度看，魔方的顏色組合雖然千變?nèi)f化，但其實(shí)都是由一系列基本的操作(即轉(zhuǎn)動(dòng))產(chǎn)生的，而且那些操作還具有一個(gè)非常簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。即每轉(zhuǎn)動(dòng)一次都有一個(gè)相反的操作(比如與順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)相反的操作就是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))。

1992年，德國(guó)數(shù)學(xué)家科先巴提出了一種尋找魔方復(fù)原方法的新思路，他發(fā)現(xiàn)。在魔方的基本轉(zhuǎn)動(dòng)方式中，有一部分可以自成系列，通過這部分轉(zhuǎn)動(dòng)可以形成將近200億種顏色組合，利用這200億種組合，科先巴將魔方的復(fù)原問題分解成了兩個(gè)步驟：第一步是將任意一種顏色組合轉(zhuǎn)變?yōu)槟?00億種組合之一；第二步則是將那200億種組合復(fù)原，如果我們把魔方復(fù)原比作是讓一條汪洋大海中的小船駛往一個(gè)固定的目的地，那么科先巴提出的那200億種顏色組合就好比是一片特殊的水域，一片比那個(gè)固定地點(diǎn)大了200億倍的特殊水域，而他提出的兩個(gè)步驟就好比是先讓小船駛往那片特殊水域，然后從那里駛往一個(gè)固定的目的地，顯然，在汪洋大海中尋找一片巨大的特殊水域要比直接尋找那個(gè)小小的，目的地容易得多，這就是科先巴新思路的優(yōu)越之處。

但即便如此，要用科先巴的方法對(duì)“上帝之?dāng)?shù)”進(jìn)行估算仍不是一件容易的事，尤其是，要想進(jìn)行快速的計(jì)算，最好是將復(fù)原那200億種顏色組合的最少轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)(這相當(dāng)于是那片特殊水域的地圖)存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)的內(nèi)存中，這大約需要300兆的內(nèi)存，300兆在今天看來是一個(gè)不太大的數(shù)目，但在科先巴提出新思路的那年，普通機(jī)器的內(nèi)存遠(yuǎn)遠(yuǎn)不到它的十分之一。

直到1995年，才有人利用科先巴的方法給出了第一個(gè)估算結(jié)果，此人名叫里德，是美國(guó)中佛羅里達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)家，他通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，最多經(jīng)過12次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將魔方的任意一種顏色組合變?yōu)榭葡劝湍?00億種組合之一；而最多經(jīng)過18次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將那200億種組合中的任意一種復(fù)原，這表明，最多經(jīng)過12+18=30次轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以將魔方的任意一種顏色組合復(fù)原，

直到2007年，美國(guó)東北大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家孔克拉和庫(kù)伯曼才又將結(jié)果推進(jìn)到了26，他們的工作采用了并行計(jì)算系統(tǒng)，所耗計(jì)算時(shí)間則長(zhǎng)達(dá)8000小時(shí)，

這些計(jì)算結(jié)果表明，“上帝之?dāng)?shù)”不會(huì)超過26，另一方面，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾萬(wàn)種顏色組合，它們必須要用20次轉(zhuǎn)動(dòng)才能復(fù)原，這表明“上帝之?dāng)?shù)”不可能小于20。

當(dāng)然，“上帝”也許是微妙的。我們誰(shuí)也無法保證它是否會(huì)在某個(gè)角落為我們留下驚訝，我們唯一有理由相信的是：這個(gè)游戲與數(shù)學(xué)交織而成的神秘的“上帝之?dāng)?shù)”距離它水落石出的那一天已不太遙遠(yuǎn)了。