微積分法在組織教學(xué)過程中的研究

許云鵬

自上世紀80年代以來,二十年間高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容一直相對穩(wěn)定。盡管教學(xué)大綱和教材也經(jīng)過了幾次修訂,但教學(xué)內(nèi)容仍然是代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何四大部分(上海市除外)。然而,這一局面在上世紀末被打破。原國家教委首先于1996年頒發(fā)了《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗)》,對原有內(nèi)容作了較大修改,加入了概率統(tǒng)計、微積分的初步知識和向量。本文將圍繞微積分教學(xué)進行分析,以期探究出一些較為可行的策略。

一、新大綱“微積分”部分分析

雖然新大綱仍然將微積分作為選修內(nèi)容(即高中會考不要求),但卻是廣大希望進入高校繼續(xù)深造的高三學(xué)生的“必修”功課?？傮w上看,有如下幾個特點:

1.充分考慮到文理學(xué)生對于微積分需求和自身數(shù)學(xué)能力的差異

內(nèi)容較少,要求也不太高。極限部分,除加入函數(shù)極限的概念外,與舊大綱要求相差不大;只要求掌握導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(不涉及微分),且只需掌握函數(shù)y=xn(n∈N*)的導(dǎo)數(shù)公式,會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?？梢?理科生學(xué)好了,對以后學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”有很大的幫助。

2.對微積分的定位比較好,充分考慮到學(xué)生的實際水平

沒有過多地涉及極限的理論知識,也沒有要求嚴格的論證,只需直觀認識,只需讓學(xué)生借助幾何直觀理解連續(xù)函數(shù)有最大最小值的性質(zhì),這樣既能對極限的一些重要性質(zhì)有所認識,也不會因嚴格的論證望而卻步。故大綱針對各部分內(nèi)容的輕重,靈活地區(qū)分對待。

3.重視微積分在中學(xué)階段的應(yīng)用

因為如果不談應(yīng)用,學(xué)生不僅學(xué)習(xí)該內(nèi)容無甚興趣,而且也不能對微積分有一個全面的了解。況且,在講授微積分的應(yīng)用時,也能加深學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識的理解。

4.通過微積分初步的教學(xué),了解微積分學(xué)產(chǎn)生的時代背景和歷史意義

進行客觀事物相互制約、相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系等觀點的教育,說明教師不僅應(yīng)講授微積分的基本知識和原理,還應(yīng)該讓學(xué)生了解微積分發(fā)展的社會背景,形成一定的數(shù)學(xué)思維并能上升到哲學(xué)的高度。這其實也揭示了微積分所具有的人文價值和內(nèi)涵。

下面我們來分析高中數(shù)學(xué)課堂中,組織微積分教學(xué)應(yīng)遵循的一些原則和策略,根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分可能出現(xiàn)的困難,探索一些可行的突破方案,以及筆者的一些思考和看法。

二、組織微積分教學(xué)應(yīng)采取的策略

1.不斷加強變量概念的教學(xué),樹立以變量為思維對象的數(shù)學(xué)觀

由于學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸的均為常量,常量數(shù)學(xué)在頭腦中已根深蒂固。但在學(xué)習(xí)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念時,沒有變量的思維是不行的。所以在組織教學(xué)時,需加強變量概念的教學(xué),讓學(xué)生逐步熟悉和適應(yīng)變量,并能思考變化過程。當(dāng)然,這就需要我們在教學(xué)中要特別注意將變量及其變化講解清楚。

2.要以直觀描述為主,鼓勵“合情推理”和“合情猜想”

其實這也是筆者認為的微積分在中學(xué)教學(xué)中較為合理的定位。對此部分的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以直觀性的描述為主,以掌握方法、計算為主,對理論上的嚴謹性不宜要求過高,更無須嚴格的證明。涉及的一些概念和結(jié)論,既要使學(xué)生正確地理解和掌握,也要適可而止。

3.防止微積分教學(xué)退化成僅讓學(xué)生記住一些公式和結(jié)論

考慮到高中生的實際水平,不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理,都應(yīng)讓學(xué)生主動地參與,引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導(dǎo),這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生的“變量思維”,感受微積分的內(nèi)涵和與初等數(shù)學(xué)的差異。否則,如果為了“體貼”學(xué)生或純粹的“應(yīng)試心理”,微積分教學(xué)變成了讓學(xué)生在不理解的狀況下死記一些公式和結(jié)論,那么在高中教授微積分就失去了意義和價值,學(xué)生的能力也不會提高。

4.處理好微積分與初等數(shù)學(xué)的關(guān)系

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用時,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)微積分是一個較初等數(shù)學(xué)厲害的工具,能比較容易地用初等數(shù)學(xué)方法解決十分繁瑣和困難的問題,而教師也可能會在解題的演示中傳達這樣的訊息。一方面,學(xué)生可以掌握更為簡便的方法,并產(chǎn)生對微積分的興趣;但另一方面,也可能對他們的學(xué)習(xí)心態(tài)及思考能力帶來負面的影響,反而不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。所以教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生思考解決某些問題。

總之,如何進行微積分教學(xué)在高中數(shù)學(xué)是一個全新的課題,相對于對代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學(xué)研究,微積分的教學(xué)研究還不成熟,處于摸索的階段。但也正因為如此,探討微積分的教學(xué)才更有價值和意義。

作者單位:莊河市第四高級中學(xué)