基于左特征向量配置的結(jié)構(gòu)聲主動控制

白 金, 黎 勝,2, 夏茂龍

(1. 大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室 船舶工程學院, 大連 116024;2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心, 上海 200240)

結(jié)構(gòu)聲主動控制是結(jié)構(gòu)振動輻射聲場控制的研究重點之一[1-3]。結(jié)構(gòu)聲主動控制從結(jié)構(gòu)振動與聲輻射的關系出發(fā)，采用次級振源來進行結(jié)構(gòu)聲的主動控制，其實質(zhì)是將振動主動控制應用到結(jié)構(gòu)聲輻射控制中，所以，結(jié)構(gòu)聲主動控制的研究進展是與振動主動控制的研究進展息息相關的[4]。閉環(huán)振動系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過求解振動系統(tǒng)的極點、右特征向量和左特征向量獲得[5]：極點包含了振動系統(tǒng)的固有頻率和阻尼信息；右特征向量即為模態(tài)振型，振動系統(tǒng)的響應由各階模態(tài)振型疊加而成；左特征向量則代表了系統(tǒng)抵抗外部激勵的能力，即模態(tài)被激勵的能力，當左特征向量與激勵力向量正交時，與該階左特征向量對應的振動模態(tài)就不會被激發(fā)出來。因此，通過對左特征向量的配置可以實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)振動的主動控制。Choi等[6]采用最小二乘法將閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量配置成與激勵力向量正交且與控制力平行的形式，在較小的能量消耗下閉環(huán)系統(tǒng)的振動響應得到有效降低。Choi[7]采用最小二乘法同時對閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量和模態(tài)振型進行配置，使左特征向量與激勵力向量正交，而模態(tài)振型與輸出矩陣正交，閉環(huán)系統(tǒng)輸出點的振動響應得到大幅降低。目前，基于左特征向量的結(jié)構(gòu)聲主動控制的研究仍然比較少。Wu等[8]采用自適應特征向量優(yōu)化算法，求出能使噪聲抑制性能指標(Sound Suppression Performance Index)最小的最優(yōu)左、右特征向量組合，并以此為目標對閉環(huán)系統(tǒng)進行特征結(jié)構(gòu)配置，得到了較好的降噪效果。Wu等[9]通過對振動系統(tǒng)的左、右特征向量進行配置，將閉環(huán)系統(tǒng)的振動模態(tài)控制為弱輻射模態(tài)，并使受控后的左特征向量與激勵力向量正交，同樣得到了較好的降噪效果。本文采用耦合模態(tài)空間控制[10](Dependent Modal Space Control)方法，將閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，通過降低結(jié)構(gòu)的振動水平，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動聲輻射的主動控制。本文提出的結(jié)構(gòu)聲主動控制方法具有物理意義明確、實施過程簡單、聲輻射抑制效果好的特點。以矩形簡支板為例對本文提出的結(jié)構(gòu)聲主動控制方法進行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明閉環(huán)系統(tǒng)的振動聲輻射得到了有效降低。

1 閉環(huán)系統(tǒng)的控制方程及其左、右特征向量

含有外部激勵力和控制力的結(jié)構(gòu)動力學方程可以寫作

(1)

將控制力與振動結(jié)構(gòu)考慮為一個整體，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，則式(1)可以寫成

(2)

式中：[Mc]、[Cc]和[Kc]分別為閉環(huán)系統(tǒng)的等效質(zhì)量陣、等效阻尼陣和等效剛度陣，其具體表達式由控制系統(tǒng)的輸入與輸出之間的傳遞關系、即控制律決定。比如采用速度反饋控制律，則輸入為速度響應，輸出為阻尼控制力。式(2)實質(zhì)上是將式(1)中的控制力分解為相應的慣性力、阻尼力和彈性力，并將其等效為對應的質(zhì)量、阻尼和剛度。通過求解與式(2)對應的特征值問題

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可得相同的n對特征值s，將特征值s代入式(3)，可得右特征向量矩陣(即模態(tài)振型矩陣)

(5)

將特征值s代入式(4)，可得左特征向量矩陣

(6)

若[Mc]、[Cc]和[Kc]不為對稱陣，則[Φc]和[Ψc]也就不相同。閉環(huán)系統(tǒng)位移響應可以表示為

(7)

(8)

式中

[Hc]=

(9)

根據(jù)左特征向量的性質(zhì)[11]可知[H]為對角陣，即模態(tài)振型矩陣[Φc]和左特征向量矩陣[Ψc]可將式(2)解耦。則有：

[H]ii=

(10)

(11)

2 左特征向量與模態(tài)振型的關系

[Φcm]=[Φm][W]

(12)

[Φc(n-m)]=[Φn-m]

(13)

振動系統(tǒng)的模態(tài)振型矩陣與左特征向量矩陣具有如下關系

[Φ]-T=[Ψ]

(14)

[Φc]-T=[Ψc]

(15)

式中：[Φ]和[Ψ]分別為開環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)振型矩陣和左特征向量矩陣。將模態(tài)振型矩陣和左特征向量矩陣分成前m階和后n-m階兩部分：

[Φ]=[[Φm] [Φn-m]]

(16)

[Φc]=[[Φcm] [Φc(n-m)]]

(17)

[Ψ]=[[Ψm] [Ψn-m]]

(18)

[Ψc]=[[Ψcm] [Ψc(n-m)]]

(19)

結(jié)合式(12)、式(13)、式(16)和式(17)得：

[Φc]=[[Φcm] [Φc(n-m)]]=[[Φm][W] [Φn-m]]=

(20)

由式(20)得：

(21)

將式(14)和式(15)代入式(21)得：

(22)

將式(18)和式(19)代入式(22)得：

[[Ψcm] [Ψc(n-m)]]=[[Ψm] [Ψn-m]]×

(23)

即：

[Ψc(n-m)]=[Ψn-m]

(24)

[Ψcm]=[Ψm][WL]

(25)

[WL]=[W]-T

(26)

由此可知，當開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)振型滿足式(12)和式(13)時，則開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量就會滿足式(24)、式(25)和式(26)。即，閉環(huán)系統(tǒng)的前m階左特征向量[Ψcm]為開環(huán)系統(tǒng)前m階左特征向量[Ψm]的線性組合，閉環(huán)系統(tǒng)的后n-m階左特征向量[Ψc(n-m)]與開環(huán)系統(tǒng)的后n-m階左特征向量[Ψn-m]相等，且線性轉(zhuǎn)換矩陣[WL]和[W]滿足關系式(26)。因此，若想將閉環(huán)系統(tǒng)的前m階左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，可以先將開環(huán)系統(tǒng)的前m階左特征向量[Ψm]通過線性組合構(gòu)造出與激勵力向量正交的閉環(huán)系統(tǒng)的前m階目標左特征向量[Ψcm](即求出線性轉(zhuǎn)換矩陣[WL])，然后經(jīng)式(26)得到線性轉(zhuǎn)換矩陣[W]，進而由式(12)得到閉環(huán)系統(tǒng)的前m階目標模態(tài)振型[Φcm]，最后以[Φcm]為控制目標采用耦合模態(tài)空間控制方法實施主動控制，則閉環(huán)系統(tǒng)的前m階左特征向量[Ψcm]就會被配置成與激勵力向量正交的形式。其實質(zhì)上就是利用系統(tǒng)的模態(tài)振型與左特征向量之間的關系，通過配置系統(tǒng)的模態(tài)振型來配置系統(tǒng)的左特征向量。

3 與激勵力向量正交的左特征向量構(gòu)造方法

(27)

式(27)可以寫成

k1WL1+k2WL2+…+knWLm=0

(28)

(29)

(30)

將閉環(huán)系統(tǒng)的前m階目標左特征向量[Ψcm]分為前m-1階和后1階兩部分

(31)

在這里，我們?nèi)Ψm]的第m階向量作為閉環(huán)系統(tǒng)的第m階目標左特征向量，即

(32)

由式(30)、式(31)和式(32)可得：

[Ψm][WL]

(33)

式中

(34)

(35)

因此，由本文構(gòu)造的目標左特征向量[Ψcm]只有前m-1階才滿足與激勵力向量正交的條件，這在實際應用中是需要特別注意的。

4 耦合模態(tài)空間控制方法

(36)

基于左特征向量配置的結(jié)構(gòu)聲主動控制的實施步驟為

步驟1對開環(huán)系統(tǒng)進行模態(tài)分析和聲輻射分析，在關心的頻段內(nèi)找出輻射能力較大的m階模態(tài)[Φm]，及其相應的左特征向量[Ψm]；

步驟2運用3節(jié)中介紹的方法得到線性轉(zhuǎn)換矩陣[WL]，再由式(26)得轉(zhuǎn)換矩陣[W]；

步驟3確定控制力施加位置，由耦合模態(tài)空間控制方法得到反饋控制增益矩陣[G]；

5 數(shù)值仿真

以受垂向點力激勵的矩形簡支板為例進行基于左特征向量配置的結(jié)構(gòu)聲主動控制仿真。板長Lx=0.500 m，板寬Ly=0.350 m，板厚H=0.004 m，板密度ρs=7 850 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，各階模態(tài)阻尼比均取為ξr=0.01，空氣密度ρ=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s，參考聲功率為10-12W。板結(jié)構(gòu)四邊簡支，坐標原點取在板的幾何中心。激勵力作用位置坐標為(x1,y1)=(0.100 m,0.050 m)，幅值為F=1 N。將板劃分為20×14的單元網(wǎng)格，計算中有限元和邊界元均采用四邊形四節(jié)點等參單元和相同的網(wǎng)格劃分，其中，有限元為基于Mindlin板彎曲理論的板元，邊界元為基于板表面的Rayleigh積分。

(37)

由式(26)得線性轉(zhuǎn)換矩陣[W]：

(38)

采用有效獨立法[13]選取5個控制點力，施加位置示于圖 1。有效獨立法通過逐步刪除有效獨立向量中最小值對應的自由度，來優(yōu)化Fisher信息矩陣，使得各目標模態(tài)向量之間在盡可能少的位置點情況下保持線性獨立，從而使用較少的位置點獲得到更多的的模態(tài)信息。由耦合模態(tài)空間控制方法得到控制增益矩陣[G]。由式(36)得到反饋控制力，對結(jié)構(gòu)實施結(jié)構(gòu)聲主動控制。由于開環(huán)系統(tǒng)的質(zhì)量陣、剛度陣和阻尼陣都是對稱陣，則開環(huán)系統(tǒng)的左、右特征向量相同，開環(huán)系統(tǒng)的第1、4、8階模態(tài)振型示于圖 2。閉環(huán)系統(tǒng)第1、4、8階模態(tài)振型和左特征向量示于圖 3。開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的前8階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量內(nèi)積分別示于表 1和表 2。

圖1 控制力施加位置(■)和激勵力作用位置(★)

由于閉環(huán)系統(tǒng)的等效阻尼陣和等效剛度陣不再對稱，第1、4、8階模態(tài)振型和左特征向量不相同(見圖 3)。從表 1和表 2可以看到，閉環(huán)系統(tǒng)的第1、4階左特征向量與激勵力向量內(nèi)積為零，達到了控制目的。同時，受控前后振動系統(tǒng)的其它階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量的內(nèi)積沒有變化。

開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)第1、4、8階振動模態(tài)的模態(tài)速度幅值示于圖 4?？梢钥吹剑]環(huán)系統(tǒng)的第1、4階振動模態(tài)的模態(tài)速度幅值極小，接近于零，說明激勵力無法激發(fā)閉環(huán)系統(tǒng)的第1、4階振動模態(tài)。開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的輻射聲功率曲線示于圖 5?？梢钥吹?，簡支板的輻射聲功率得到了有效降低。與開環(huán)系統(tǒng)相比，閉環(huán)系統(tǒng)的輻射聲功率曲線在第1、4階固有頻率處的波峰消失。但是在第8階固有頻率附近閉環(huán)系統(tǒng)的輻射聲功率高于開環(huán)系統(tǒng)的輻射聲功率。這是由于本文提出的方法在對[Φcm]中的m個左特征向量進行配置時，最多只能將其中的m-1個左特征配置成與激勵力向量正交的形式(第3節(jié)中有說明)。在本算例中，對閉環(huán)系統(tǒng)的第1、4、8階左特征向量進行配置，只保證了配置后的第1、4階左特征向量與激勵力向量正交，配置后的第8階左特征向量與開環(huán)系統(tǒng)的第8階左特征向量相同，不與激勵力向量正交。由式(38)可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的第8階模態(tài)振型為開環(huán)系統(tǒng)的第1、4、8階模態(tài)振型的線性組合。即，施加控制力后，振動系統(tǒng)的第8階左特征向量沒有改變，但第8階模態(tài)振型發(fā)生了改變，這也就無法保證在第8階固有頻率附近閉環(huán)系統(tǒng)的輻射聲功率低于開環(huán)系統(tǒng)，這在實際應用中是要特別注意的。

(a) 開環(huán)系統(tǒng)第1階模態(tài)振型

(b) 開環(huán)系統(tǒng)第4階模態(tài)振型

(c) 開環(huán)系統(tǒng)第8階模態(tài)振型

(a) 閉環(huán)系統(tǒng)第1階模態(tài)振型

(b) 閉環(huán)系統(tǒng)第4階模態(tài)振型

(c) 閉環(huán)系統(tǒng)第8階模態(tài)振型

(d) 閉環(huán)系統(tǒng)第1階左特征向量

(e) 閉環(huán)系統(tǒng)第4階左特征向量

(f) 閉環(huán)系統(tǒng)第8階左特征向量

Tab.1Thefirsteightnaturalfrequencies,dampingratiosandinnerproductsoflefteigenvectorandexcitationforcevectorofopenloopsystem

模態(tài)左特征向量與激勵力向量內(nèi)積固有頻率/Hz阻尼比1(1,1)0.622119.320.012(2,1)0.731236.580.013(1,2)0.540361.210.014(3,1)0.024433.610.015(2,2)0.634474.720.016(3,2)0.206665.560.017(4,1)0.452712.770.018(1,3)0.154770.910.01

表2閉環(huán)系統(tǒng)前8階固有頻率、阻尼比和左特征向量與激勵力向量內(nèi)積

Tab.2Thefirsteightnaturalfrequencies,dampingratiosandinnerproductsoflefteigenvectorandexcitationforcevectorofclosedloopsystem

模態(tài)左特征向量與激勵力向量內(nèi)積固有頻率/Hz阻尼比1(1,1)0119.320.012(2,1)0.731236.580.013(1,2)0.540361.210.014(3,1)0433.610.015(2,2)0.634474.720.016(3,2)0.206665.560.017(4,1)0.452712.770.018(1,3)0.154770.910.01

圖4 開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)第1、4、8階振動模態(tài)速度幅值

6 結(jié) 論

本文結(jié)合耦合模態(tài)空間控制方法，通過將閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量配置成與激勵力向量正交的形式，實現(xiàn)了基于左特征向量配置的結(jié)構(gòu)聲主動控制。推導了振動系統(tǒng)的左特征向量與模態(tài)振型之間的關系，得出當閉環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)振型為開環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)振型的線性組合時，閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量也為開環(huán)系統(tǒng)的左特征向量的線性組合的結(jié)論。構(gòu)造了與激勵力向量正交的目標左特征向量，以該左特征向量對應的模態(tài)振型為控制目標，采用耦合模態(tài)空間控制方法，間接實現(xiàn)了對閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量的配置，最終實現(xiàn)了低頻結(jié)構(gòu)振動聲輻射的主動控制。最后以矩形簡支板為例對本文提出的結(jié)構(gòu)聲主動控制方法進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果驗證了本文提出的基于耦合模態(tài)空間控制方法通過閉環(huán)系統(tǒng)左特征向量配置進行結(jié)構(gòu)振動聲輻射控制的有效性。

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