一種非線性金融系統(tǒng)的力學(xué)分析及基于有限時(shí)間LaSalle不變集的混沌控制

陳嘉琦，倉詩建，薛 薇

(1.天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津300222；2.天津科技大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，天津300222)

金融系統(tǒng)是關(guān)于資金集中與分配的一個(gè)體系，是國家經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的核心部分，維護(hù)好金融系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和對(duì)金融系統(tǒng)紊亂進(jìn)行有效地預(yù)測(cè)和控制對(duì)國家經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)控非常重要，同樣也是眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn).金融系統(tǒng)中投資需求與利率等因素[1]之間的相互影響，導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)變化呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性.原本穩(wěn)定的金融市場可能因某一個(gè)或幾個(gè)因素的微小變化而出現(xiàn)停滯、混亂情況，甚至出現(xiàn)金融危機(jī)[2]，這種現(xiàn)象是金融系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)特性的典型反應(yīng).

揭示金融系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律，應(yīng)當(dāng)深入研究系統(tǒng)內(nèi)部復(fù)雜結(jié)構(gòu).已有很多學(xué)者提出并研究了一些非線性金融模型.Kopel[3]研究了古諾雙寡頭模型的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，Wu等[4]設(shè)計(jì)了關(guān)于古諾雙寡頭模型的控制方法，Lorenz等[5]分析了 Goodwins非線性加速模型的吸引子和吸引盆等.其中，研究較多的金融模型是一種非線性金融模型[6-7]，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：參數(shù)a,b,c ∈ R+，分別代表儲(chǔ)蓄量、單位投資成本、商品需求彈性；狀態(tài)變量 x,y,z ∈ R ，分別代表利率、投資需求、價(jià)格指數(shù).由系統(tǒng)(1)可知，投資需求與儲(chǔ)蓄量的大小關(guān)系，以及物價(jià)的結(jié)構(gòu)調(diào)整都影響著x的變化，y的變化與利率和單位投資成本成反比，與投資率成正比；而z的變化既受通貨膨脹率的影響，又受商品市場供求矛盾的調(diào)控.

針對(duì)系統(tǒng)(1)及其衍生的金融混沌系統(tǒng)，研究人員研究了系統(tǒng)控制的方法和分岔[7-13]，以及將系統(tǒng)(1)擴(kuò)至 4D超混沌系統(tǒng)并研究系統(tǒng)中存在的復(fù)雜特性[14-16].Son等[8]考慮了時(shí)滯反饋項(xiàng)分別對(duì)不同變量的影響和對(duì)全部變量的影響.Gao等[12]討論了時(shí)滯反饋系統(tǒng) Hopf分岔的條件.Zheng等[14]利用一個(gè)異結(jié)構(gòu)的4D超混沌系統(tǒng)對(duì)4D超混沌金融系統(tǒng)進(jìn)行了投影同步研究.Zhang等[15]分析了4D超混沌金融系統(tǒng)的有界性.但是，大部分研究都只針對(duì)系統(tǒng)本身作理論分析和仿真驗(yàn)證，卻很少結(jié)合實(shí)際情況.

本文將非線性金融系統(tǒng)分解成Kolmogorov系統(tǒng)形式，根據(jù)不同的力矩組合，從力學(xué)角度對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行能量分析，并結(jié)合金融市場分析解釋系統(tǒng)中狀態(tài)變量和參數(shù)間的相互影響.為抑制金融系統(tǒng)的混沌行為，將有限時(shí)間理論和 LaSalle不變集定理進(jìn)行結(jié)合，提出一種新的混沌控制方法.在理論分析的基礎(chǔ)上借助數(shù)值仿真，將混沌狀態(tài)的金融系統(tǒng)有效控制到穩(wěn)定狀態(tài)，從而達(dá)到對(duì)金融系統(tǒng)混沌行為的有效控制.

1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)分析及混沌行為

當(dāng)參數(shù)(a,b,c)滿足 c -b - abc≤ 0 時(shí)，系統(tǒng)(1)存在單一平衡點(diǎn) S1= ( 0,1/b, 0)；而當(dāng) c -b - abc＞0 時(shí)，系統(tǒng)(1)則存在 3個(gè)不同的平衡點(diǎn) S1= ( 0,1/b, 0)，當(dāng)參數(shù)(a,b,c)取不同值時(shí)，系統(tǒng)(1)會(huì)呈現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，例如周期運(yùn)動(dòng)、混沌等.特別當(dāng)系統(tǒng)(1)選擇初始條件 I0= ( 3,1,5)，參數(shù)集(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)時(shí)，可得到系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)值為 ( L E1, L E2, L E3)=(0.067,0,-0.628).由于 LE1＞0，這表明系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)，相軌跡如圖1所示.

圖1 參數(shù)集(a,b,c ) = (1 ,0.2,1.1)時(shí)系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system(1)parameter set (a,b,c)=(1,0.2,1.1)

2 系統(tǒng)力學(xué)分析

系統(tǒng)(1)的混沌行為已得到深入研究，作為具有實(shí)際意義的非線性系統(tǒng)，每個(gè)狀態(tài)變量和參數(shù)都有其對(duì)應(yīng)的實(shí)際物理意義.分析它們的變化對(duì)系統(tǒng)本身混沌現(xiàn)象的影響是研究整個(gè)系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的重要基礎(chǔ).將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換成Kolmogorov型系統(tǒng)后，其狀態(tài)變量和參數(shù)仍具有各自對(duì)應(yīng)的原始物理意義.

通常Kolmogorov型系統(tǒng)形式為

式中：X ={x,y,z}T表示狀態(tài)變量，{·,·}表示李代數(shù)結(jié)構(gòu)，力矩{X,H}表示保守力矩.正對(duì)角矩陣ΛX表示耗散力矩，f表示外力矩.

將系統(tǒng)改寫成Kolmogorov系統(tǒng)的形式為

其中：X ={x,y,z}T，Λ = d iag{a,b,c}， f ={0,1,0}T.保守項(xiàng){X,H}包括慣性力矩 K和內(nèi)力矩 U，即H = K + U.根據(jù)式(3)不難得到系統(tǒng)的 Hamilton能量函數(shù)為

通過研究不同力矩組合對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，進(jìn)而探索系統(tǒng)(1)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的機(jī)制.

2.1 系統(tǒng)僅包含保守力矩

當(dāng)系統(tǒng)(1)僅包含慣性力矩(動(dòng)能)和內(nèi)力矩(勢(shì)能)時(shí)，有= { X ,K}+ { X ,U} = { X ,H}，對(duì)應(yīng)的方程為

圖2 初始值為 I0時(shí)，系統(tǒng)(5)狀態(tài)變量 x、y、z及Hamilton能量H的時(shí)序圖Fig.2 Time sequence diagram of the state variables x，y，z nd Hamilton energy H of the system(5) when the initial value is I0

2.2 系統(tǒng)包含保守力矩和耗散力矩

選取系統(tǒng)的 Hamilton能量函數(shù)H作為 Lyapunov函數(shù)，那么關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，而且所有狀態(tài)變量漸近收斂到 0.另一方面系統(tǒng)(6)的散度為

由于參數(shù)(a,b,c)均為正實(shí)數(shù)，當(dāng)t→+∞時(shí)，由式(8)可知，系統(tǒng)(6)相空間的體積趨近于0.系統(tǒng)(6)的利率x，投資需求y和價(jià)格指數(shù)z都趨近 0.系統(tǒng)(6)的相軌跡、狀態(tài)變量和 Hamilton能量變化規(guī)律如圖3所示.此時(shí)，金融系統(tǒng)陷入完全停滯僵化的狀態(tài)，經(jīng)濟(jì)市場缺少活力.

圖3 系統(tǒng)(6)的動(dòng)態(tài)特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system(6)

2.3 系統(tǒng)包含保守力矩和外力矩

此時(shí)，外力矩 f中的投資率 1相當(dāng)于一個(gè)外部強(qiáng)激勵(lì)，f的存在極大地提升了經(jīng)濟(jì)市場的活力，但狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)變得沒有規(guī)律，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).其Hamilton能量變化H˙=y，投資需求y由資本邊際效率(預(yù)期增加一個(gè)單位投資可得到的利潤率)和利率的對(duì)比關(guān)系決定.能量2/2 H=y 的吸收和釋放隨投資需求y的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)而交錯(cuò)增減，是有限區(qū)域內(nèi)的混沌.系統(tǒng)的相軌跡和能量變化規(guī)律如圖4所示.

圖4 系統(tǒng)(9)的動(dòng)態(tài)特性Fig.4 Dynamic characteristics of the system(9)

金融系統(tǒng)受到擾動(dòng)，系統(tǒng)中某些因素不按規(guī)則運(yùn)行，但始終保持在有限的范圍內(nèi)，不會(huì)發(fā)散出去導(dǎo)致金融系統(tǒng)的崩潰.當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，貨幣流通量大時(shí)，國家為了防止通貨膨脹的出現(xiàn)，可以通過提升利率x，匯集市場中流動(dòng)資金的同時(shí)控制貸款總額，從而降低投資需求y，加快價(jià)格指數(shù)z的變化，同時(shí)二者的變化反作用于利率x，使其降低，從而三者間無規(guī)則往復(fù)變化，互相影響.

2.4 系統(tǒng)包含所有力矩

圖5 系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)時(shí)的能量Fig.5 Energy of the system(1)in chaotic state

比較 2.3節(jié)和 2.4節(jié)，這兩種情況都會(huì)產(chǎn)生混沌行為，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的唯一因素是外力矩f中的投資率 1.在 2.4節(jié)中，混沌的產(chǎn)生是外力矩 f與耗散力矩ΛX的相互作用的結(jié)果，在耗散力矩ΛX的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)變量的振蕩幅度減弱，系統(tǒng)的混沌行為得到一定程度的控制.2.4節(jié)比 2.3節(jié)加入了儲(chǔ)蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c.儲(chǔ)蓄量a的大小直接影響利率x的變化，儲(chǔ)蓄量a偏高時(shí)，央行會(huì)降低利率x，引導(dǎo)儲(chǔ)蓄分流；當(dāng)儲(chǔ)蓄量a偏低時(shí)，央行會(huì)提高利率x，從市場匯集資金增加儲(chǔ)備，二者呈反比關(guān)系.單位投資成本b的增加會(huì)降低投資需求y，單位投資成本b的降低會(huì)促使投資需求y的增多，呈反比關(guān)系.商品需求彈性c表示一定時(shí)期內(nèi)商品需求量的變化對(duì)該商品價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)的反應(yīng)程度，價(jià)格變動(dòng)引起需求變動(dòng)變化大，商品富有彈性(非必需品)；價(jià)格變動(dòng)引起需求變動(dòng)變化小或無變化，商品缺乏彈性(必需品)，呈反比關(guān)系.所以通過調(diào)節(jié)儲(chǔ)蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c的值可以對(duì)利率x、投資需求y和價(jià)格指數(shù)z的變化規(guī)律進(jìn)行控制，從而有效控制金融系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì).

3 基于有限時(shí)間LaSalle不變集的混沌控制

3.1 有限時(shí)間穩(wěn)定理論

考慮非線性系統(tǒng)[17]

式中：x ∈ Rn為狀態(tài)變量； f:D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個(gè)連續(xù)非線性函數(shù).

定義 1[18]當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(10)穩(wěn)定，且在有限時(shí)間內(nèi)收斂時(shí)，其平衡點(diǎn)x=0在連續(xù)有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，有限時(shí)間收斂可表示存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)T(x):D0{0} → ( 0,+ ∞)使 ? x0∈ D0? D.系 統(tǒng)(10)的解記作x(t,x0).

(1)當(dāng) t∈ [ 0,T(x0)]時(shí) ，有 x(t,x0) ∈ D0{0}和x(t,x0) = 0 ；(2) 當(dāng) t＞ T(x0)時(shí)，有 x (t,x0) = 0.

當(dāng)D=D0=Rn，系統(tǒng)的狀態(tài)變量總能在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點(diǎn).

定理 1[19]設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足微分不等式

這里m和ξ為常數(shù)，且m＞0，0＜ξ＜1.對(duì)于任意初始時(shí)間t0，V(t)都滿足不等式

式中

文獻(xiàn)[20]已對(duì)定理1進(jìn)行了證明，此處不再贅述.

3.2 LaSalle不變集理論

考慮非線性系統(tǒng)

式中狀態(tài)變量 X ∈Rn，f :D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)，滿足 Lipschitz條件.設(shè)系統(tǒng)至少有一個(gè)平衡點(diǎn) X*，且不知道該平衡點(diǎn)的位置.引入如下概念：

定義2f(x)在區(qū)域上滿足Lipschitz條件時(shí)，應(yīng)存在一個(gè)常數(shù)l使得定義域D中任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1和x2滿足不等式.若f(x)在區(qū)域上D滿足 Lipschitz條件，必定存在f(x)在區(qū)域D上滿足一致連續(xù).

定義 3設(shè)x(t)為系統(tǒng)(14)的解，存在時(shí)間t→+∞，使x(t) = Q ，則Q為x(t)的一個(gè)正向極限點(diǎn).

定義 4設(shè)存在一個(gè)域 M ?Rn，若對(duì)任意初始條件x(0)=x0∈M ，系統(tǒng)(14)的解 x (t) = Φ(t,x0)滿足x(t)∈M ，?t≥0，則M 為系統(tǒng)(14)的正向不變集，可以包含系統(tǒng)的1個(gè)或多個(gè)平衡點(diǎn)，也可以是狀態(tài)空間的一個(gè)子集合[21].

定理 2(LaSalle不變集定理[22])設(shè)Ω是一個(gè)有界閉集合，從Ω集合內(nèi)出發(fā)的系統(tǒng)(14)的解x(t)?Ω，若?V(x):Ω→R，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，使dV/dt≤0，又設(shè) A = {x|dV/dt= 0,x ∈ Ω}，M?A是最大不變集，則當(dāng)t→+∞ 有x(t)→M ，若M={0}，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定.

3.3 金融系統(tǒng)有限時(shí)間LaSalle不變集控制

將系統(tǒng)(1)從平衡點(diǎn) S1= ( 0,1/b, 0)轉(zhuǎn)移到平衡點(diǎn)S0= ( 0,0,0)，并添加控制器u1,2得到受控金融系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

控制器u1,2的設(shè)計(jì)見式(16)，因金融系統(tǒng)中的利率x的變化受投資需求y以及價(jià)格指數(shù)z的影響，使得系統(tǒng)可能出現(xiàn)混沌行為，控制器的設(shè)計(jì)從削除影響利率因素的角度出發(fā)，利用控制器u1消除系統(tǒng)中的物價(jià)波動(dòng)以及投資需求與利率的相互影響，并通過控制器u2增強(qiáng)利率的自身負(fù)相關(guān)性，以達(dá)到自身穩(wěn)定的目的.

其中參數(shù)r＞0，指數(shù)E為真分?jǐn)?shù)，p為狀態(tài)變量.將式(16)代入狀態(tài)方程(15)的第一項(xiàng)得到

因?yàn)?＜E＜1，所以 0 ＜ ( E +1)/2＜1.根據(jù)定理 1可知，系統(tǒng)(17)能在有限時(shí)間 T1=/ (m1( 1 -ξ))內(nèi)到達(dá)x=0處，其中ξ= ( E + 1 )/2.當(dāng) x=0時(shí)，=0且= 0 ，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x漸近穩(wěn)定到x=0處.再將x= 0 代入系統(tǒng)(15)的后兩項(xiàng)，并構(gòu)造 Lyapunov函數(shù)V2= ( y2+ z2)/2，對(duì)其求導(dǎo)得到

再令 g (x) = - a x - xE，則必定存在正實(shí)數(shù)l使，所以g(x)滿足 Lipschitz條件，式(17)變換為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V3

式中L為正實(shí)數(shù)，且L＞l，對(duì)V3沿著式的軌跡求時(shí)間微分，得到

3.4 數(shù)值仿真

將控制器u1,2以及p加到系統(tǒng)(15)的第一項(xiàng)上，那么受控金融系統(tǒng)可表示為

當(dāng)(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)、初始條件為I0時(shí)，系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài).現(xiàn)保持系統(tǒng)(1)的參數(shù)和初始條件不變，采用四階 Runge-Kutta法求解方程，設(shè)步長h= 0.001，狀態(tài)變量 p0= 1 ，并選取控制參數(shù)E= 1 /2、r=1，對(duì)系統(tǒng)(1)的混沌行為進(jìn)行控制.在第 60秒時(shí)加入控制器，狀態(tài)變量x在控制器作用下迅速穩(wěn)定，狀態(tài)變量y、z隨后很快全部穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，系統(tǒng)(1)的混沌振蕩得到控制.圖6給出受控系統(tǒng)(23)的3個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)曲線，由此可以看出該控制方法可以將金融混沌系統(tǒng)的 3個(gè)狀態(tài)變量從混沌狀態(tài)控制到穩(wěn)定狀態(tài).且狀態(tài)變量的超調(diào)量幾乎不存在，說明該控制方法的魯棒性較強(qiáng).

圖6 受控系統(tǒng)(23)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.6 Time response curve of the controlled system(23)

注意，這里的控制器u1,2只作用于系統(tǒng)的x˙，也就是對(duì)利率變化的調(diào)節(jié).在對(duì)原系統(tǒng)施加控制后，振蕩的x在有限時(shí)間T1內(nèi)被控制到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定后的x可保證狀態(tài)變量y和z的振蕩隨后同樣得到有效控制.若要用控制器對(duì)y˙進(jìn)行控制，只需先將y在有限時(shí)間內(nèi)控制到穩(wěn)定狀態(tài)，從而帶動(dòng)x和z的收斂振蕩，最終系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定平衡.同樣的設(shè)計(jì)思路也適用于對(duì)z˙進(jìn)行控制.

4 結(jié) 語

本文從兩個(gè)方面研究了一種非線性金融系統(tǒng).其一，從力學(xué)角度，將系統(tǒng)分解成 Kolmogorov系統(tǒng)形式，分析了不同力矩單獨(dú)和共同作用于該金融系統(tǒng)時(shí)的結(jié)果，剖析了該金融系統(tǒng)產(chǎn)生混沌行為的原因，并結(jié)合金融市場解釋了儲(chǔ)蓄量和單位投資成本等因素間的作用關(guān)系.其二，將有限時(shí)間理論和 LaSalle不變集定理結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制器.該控制器結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快且魯棒性較強(qiáng)，只對(duì)利率的變化的調(diào)節(jié)就能將混沌的金融系統(tǒng)控制到穩(wěn)定狀態(tài)，為該金融系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究提供了新的思路和參考.