尋找那些美麗的數(shù)

小　七　　小　璐

數(shù)學(xué)以它美的形象，趣的魅力，吸引著古往今來(lái)千千萬(wàn)萬(wàn)癡迷的追求者。

一個(gè)個(gè)數(shù)字，非但毫不枯燥，而且生機(jī)勃勃，鮮活亮麗!今天，我們給大家介紹的二種有意思的數(shù)!

首先，提一個(gè)問(wèn)題：大家知道12345678987654321這個(gè)十七位數(shù)，是由哪一個(gè)數(shù)的平方得到的呢?

這個(gè)問(wèn)題，看似很復(fù)雜，但是我們先來(lái)看下面的算式：

11²=121

111²=12321

1111²=1234321

11111²=123454321

你知道它在何時(shí)終止嗎?

觀察上面幾個(gè)式子，我們就能很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：11…11²=123…n…321(等號(hào)前面共有n個(gè)1，其中n=1，2，……，9)。由此1 2345678987654321這個(gè)十七位數(shù)，是由哪一個(gè)數(shù)平方得到的，也便不言而喻了：它是111111111得到的。

瞧，這些數(shù)：121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321的排列多么像一列士兵，由低到高，再由高到低，整齊有序。像上面這些數(shù)有這樣一個(gè)特點(diǎn)：各數(shù)位上的數(shù)字從左到右逐漸增大，由1到9，且是連續(xù)自然數(shù)，達(dá)到頂峰，以后又逐漸減小，由9到1，它活像一枚橄欖，所以我們稱這些數(shù)為橄欖數(shù)(它是一種特殊的回文數(shù))。

這樣說(shuō)來(lái)，橄欖數(shù)只有八個(gè)121，12321，1234321，……，12345678987654321，顯然最小的橄欖數(shù)是121，最大的橄欖數(shù)是‘12345678987654321。

再來(lái)尋找一下規(guī)律：

對(duì)各個(gè)橄欖數(shù)121，12321，1234321，123454321，……，12345678987654321分析可分別得到：

1+2+1=2²

1+2+3+2+1=3²

1+2+3+4+3+2+1=4²

1+2+……+(n-1)+n+(n-1)+……2+1=?=n²

(其中n=1，2，……，9)

即橄欖數(shù)各個(gè)數(shù)字的和等于它中心數(shù)字的平方。

請(qǐng)大家想一想：12345654321是不是一個(gè)橄欖數(shù)，它又是哪個(gè)數(shù)的平方呢?這個(gè)數(shù)能被3、7、11、13、37整除嗎?

(參考答案：12345654321=111111²。而111111能被3，7，11，13，37整除，所以12345654321也能被3，7，11，13，37整除)

我們知道了121，12321，1234321，123454321……是“橄欖數(shù)”。還有一些數(shù)，如：26562，9461 649，雖高低交錯(cuò)，卻也左右對(duì)稱。因此，這類數(shù)又被我們稱作“對(duì)稱數(shù)”，根據(jù)它們的風(fēng)格，不論你順讀，還是倒過(guò)來(lái)讀，都完全一樣，所以我們還可以把它們叫做“回文數(shù)”。

對(duì)稱數(shù)可以分為奇位對(duì)稱數(shù)和偶位對(duì)稱數(shù)：奇位對(duì)稱數(shù)是指位數(shù)是奇數(shù)的對(duì)稱數(shù)，奇位對(duì)稱數(shù)位數(shù)最中間的那個(gè)數(shù)字稱為對(duì)稱軸數(shù)：偶位對(duì)稱數(shù)是指位數(shù)是偶數(shù)的對(duì)稱數(shù)，偶位對(duì)稱數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸數(shù)。

對(duì)稱數(shù)的位數(shù)，一般大于或等于兩位。最小的對(duì)稱數(shù)是11，沒(méi)有最大的對(duì)稱數(shù)。

對(duì)稱數(shù)排列有序，整齊美觀，形象動(dòng)人。那么，怎樣能夠得到對(duì)稱數(shù)呢?

有人試著這樣做：25+52=77，得到的和正好是對(duì)稱數(shù)：76+67=143，143+341=484，也得到了對(duì)稱數(shù)：59+95=154，154+451=605，605+506=1111又得到了對(duì)稱數(shù)。于是人們猜想：把某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)(在數(shù)學(xué)中，我們把具有1 089和9801這種對(duì)稱格式的兩個(gè)數(shù)叫做互為鏡反數(shù)，有時(shí)也稱一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的逆序數(shù))相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去，可得到對(duì)稱數(shù)，這就是著名的“對(duì)稱數(shù)猜想”，至今仍然是個(gè)謎。

那么對(duì)稱數(shù)又有哪些性質(zhì)?

(1)任意一個(gè)數(shù)位是偶數(shù)的對(duì)稱數(shù)，都能被11整除。如一1001÷11=91，5445÷11=495

(2)兩個(gè)由相同數(shù)字組成的對(duì)稱數(shù)，它們的差必定是81的倍數(shù)。

如：9779-7997=1782=81×22，43234-34243=8991=81×111

(3)人們發(fā)現(xiàn)，有些對(duì)稱數(shù)相乘之后，所得乘積還是對(duì)稱數(shù)，如：212×141=29892。

對(duì)稱數(shù)中平方數(shù)是非常多的。如：121=11²，12321=111²，484=22²，676=26²。一個(gè)整數(shù)的三次方、四次方也有類似的情況。如：343=7²，1331=11²等。一個(gè)整數(shù)的五次方、六次方……能夠得到對(duì)稱數(shù)嗎?這方面的探索令人失望，現(xiàn)在還沒(méi)有誰(shuí)發(fā)現(xiàn)存在五次方數(shù)的對(duì)稱數(shù)，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)次數(shù)更高的對(duì)稱數(shù)。

更為有趣的是“回文數(shù)”中的“回文年”，如一2002年，2112年我們稱它們是“回文年”等。

請(qǐng)你想一想：

1把自己的年、月、日連成一個(gè)自然數(shù)，求出自己的回文數(shù)。

2“青山綠水×4=水綠山青”中的文字分別代表哪些數(shù)字?

3“細(xì)心大膽×9=膽大心細(xì)”中的文字分別代表哪些數(shù)字?

參考答案：

1如：小強(qiáng)的生日是97年12月01日，把971201看成一個(gè)數(shù)，用回文數(shù)猜想可求出它的回文數(shù)是一個(gè)8位的回文數(shù)，即51866815。

2因?yàn)橐粋€(gè)四位數(shù)的4倍后，積也是四位數(shù)，所以被乘數(shù)的千位數(shù)只能是1、2，又因?yàn)榉e是偶數(shù)，所以“青”字只能是2：因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)字是2，所以被乘積的“水”字只能是3、8，從積的千位數(shù)字分析“水”字只能是8、9，所以“水”字是8：分析被乘數(shù)百位數(shù)字“山”字只能是0、1、2，因?yàn)椤扒唷庇顬?，“山”字只能是0、1，當(dāng)“山”字取0時(shí)，找不到“綠”字對(duì)應(yīng)的整數(shù)，故“山”只能取1，并可求出“綠”字為7。所以：青山綠水=2178，水綠山青=8712。

3因?yàn)橐粋€(gè)四位數(shù)的9倍后積也是四位數(shù)，所以被乘數(shù)的千位只能是1，即“細(xì)”字是1，因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)字是1，所以“膽”字只能是1、9，從積的干位數(shù)字分析“膽”字只能是9，因?yàn)椤澳憽弊质?；分析被乘數(shù)的百位數(shù)字，它只能是0、1：因?yàn)椤凹?xì)”字是1，所以“心”字是0，當(dāng)“心”字取0時(shí)，得另一個(gè)“大”字是8。所以：細(xì)心大膽=1089，膽大心細(xì)=9801。

我們探討了對(duì)稱數(shù)(回文數(shù))，我們知道對(duì)聯(lián)中有“回文聯(lián)”(如：處處飛花飛處處，聲聲笑語(yǔ)笑聲聲)，詩(shī)詞中有“回文詩(shī)”(如：山連海來(lái)海連山)。而在數(shù)學(xué)中不但有“回文數(shù)”還有“回文式”，下面我們?cè)賮?lái)研究一下“回文式”。

如：38+61=16+83

43-16=61-34

36×42=24×63，

12x231=132×21。

43×6528=8256×34，

168×861=294x492，

1456×6541=2743×3472，

13248×84231=23184 x48132等，像上面這樣的式子，我們稱做“回文式”。

這樣的“回文式”還有嗎7

下面讓我們以38+61=1 6+83為例，找出兩位數(shù)加兩位數(shù)等于兩位數(shù)加兩位數(shù)回文等式中的規(guī)律。

設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別是lOa+b，10c+d，要使(10a+b)+(10c+d)=(10d+c)+(10b+a)，Ⅲ0有a+c=b+d。

即：這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字之和等于個(gè)位數(shù)字之和時(shí)，滿足回文等式。

如：3+4=5+2貝0有35+42=24+53和32+45=54+23都是回文式i再如：6+9=7+8則有67+98=89+76和68+97=79+86都是回文式。

同理，我們可以找出兩位數(shù)減兩位數(shù)等于兩位數(shù)減兩位數(shù)回文等式中的規(guī)律。設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別是lOa+b，10c+d，要使(10a+b1-(10c+d)=(10d+c)一(10b+a)，則有a+b=c+d。

即被減數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位之和等于減數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和時(shí)，滿足回文等式。如：53-26=62-35中有5+3=2+6：75-39=93-57中有7+5=3+9。