主線(xiàn)控制　逐層總結(jié)　提高能力

王月琴

[關(guān)鍵詞]曲線(xiàn)方程；直角坐標(biāo)系集合；約束條件；標(biāo)準(zhǔn)形式一般方法

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1004-0463(2009)05(A)-0052-02

學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程是學(xué)生能動(dòng)地解決問(wèn)題的過(guò)程，教師的職責(zé)不僅僅是給學(xué)生傳授教科書(shū)上的知識(shí)，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生能動(dòng)地解決問(wèn)題，逐步達(dá)到自覺(jué)運(yùn)用知識(shí)的水平，受心理素質(zhì)和認(rèn)知水平的限制，同一問(wèn)題不同學(xué)生的理解程度是不同的，因而，如何把握這些教學(xué)中的客觀因素。有意識(shí)地選取素材，提煉主題，通過(guò)具體實(shí)踐，充分激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的能動(dòng)性，刻意培養(yǎng)學(xué)生的心理素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生探求、總結(jié)解決問(wèn)題的辦法，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，是教師永遠(yuǎn)研究的課題，現(xiàn)結(jié)合解析幾何教材中求曲線(xiàn)方程這一問(wèn)題進(jìn)行討論。

在解析幾何中，課本上總結(jié)出來(lái)的求曲線(xiàn)方程的步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)寫(xiě)出適合條件尸的點(diǎn)肥的集合；

(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式；

(5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上。

根據(jù)情況可以省略步驟(5)，根據(jù)情況也可以省略步驟(2)，在課本所列的這些步驟中，條件“尸太抽象，可具體化為約束條件，在論證曲線(xiàn)與方程的關(guān)系時(shí)，使用集合形式便于表達(dá)這兩者之間的關(guān)系，在求曲線(xiàn)方程式時(shí)，主要由約束條件坐標(biāo)化寫(xiě)出方程，所以，可以把(2)(3)兩步合并成：把約束條件坐標(biāo)化，寫(xiě)出方程f(x，y)=0，于是可把求曲線(xiàn)方程的步驟概括為：

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；

(2)把約束條件坐標(biāo)化，寫(xiě)出方程f(x，y)=0；

(3)化簡(jiǎn)方程f(x，y)=0。

這三個(gè)步驟是簡(jiǎn)約而具體的，但是，沒(méi)有經(jīng)過(guò)實(shí)踐，學(xué)生無(wú)法理解每個(gè)步驟所示內(nèi)容的深刻性，因此，本人結(jié)合作業(yè)有意識(shí)地給出以下三個(gè)類(lèi)型的習(xí)題：

①點(diǎn)M到點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(-4，0)的距離之和為12，求點(diǎn)M的軌跡方程。

②兩條直線(xiàn)分別繞著定點(diǎn)A和B(AB=2a)在平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩條直線(xiàn)保持相互垂直，求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)P的軌跡方程，(提示：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立坐標(biāo)系；以點(diǎn)z為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為X軸建立坐標(biāo)系；以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為X軸建立坐標(biāo)系。)

③兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6。點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)M的軌跡方程。

大部分學(xué)生對(duì)①、②題完成較好，而解決③題時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題較多，歸納起來(lái)有如下幾種情況：A沒(méi)有建立坐標(biāo)系而解題，B以其中一定點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，C以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

建立坐標(biāo)系的過(guò)程，實(shí)際上是選擇坐標(biāo)系的過(guò)程，這是通過(guò)所給的三類(lèi)題目的實(shí)踐得到的心得，故可把“建立”一詞理解為：為了解決問(wèn)題，我們主動(dòng)地去選擇坐標(biāo)系，強(qiáng)調(diào)我們主動(dòng)地去解決問(wèn)題，為了很好地(以最簡(jiǎn)單的形式)解決問(wèn)題，需要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，“適當(dāng)”的目的就是為了使方程簡(jiǎn)單，所以“適當(dāng)”的原則就是充分利用對(duì)稱(chēng)性，這樣的說(shuō)法旨在激發(fā)學(xué)生的能動(dòng)性，從心理上減輕他們解決實(shí)際問(wèn)題的壓力，提高他們實(shí)踐的主動(dòng)性。

同時(shí)還有一個(gè)非?；镜膯?wèn)題，即同一圖形在不同的坐標(biāo)系下，有不同的方程，既然圖形相同，為什么方程不同?(有意引導(dǎo)，主線(xiàn)控制)，顯然，這里所說(shuō)的圖形相同是指圖形的形狀相同，但在不同的坐標(biāo)系中，它們相應(yīng)的位置是不同的，所以方程不同，可見(jiàn)方程除反映圖形的形狀之外，還反應(yīng)了圖形的位置，可見(jiàn)幾何特征(圖形的形狀、位置)一定反應(yīng)在代數(shù)特征上(方程的形式與系數(shù))，反之亦然，第二次總結(jié)出求曲線(xiàn)方程的三個(gè)必要步驟：

(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；

(2)把約束條件坐標(biāo)化，寫(xiě)出方程f(x，y)=0；

(3)把方程f(x，y)=0化簡(jiǎn)，整理成最簡(jiǎn)形式或標(biāo)準(zhǔn)形式。

這個(gè)步驟旨在引導(dǎo)學(xué)生理解課本上所列出的步驟，經(jīng)過(guò)第二次總結(jié)后，又經(jīng)歷了具體實(shí)踐，逐句逐詞推敲并總結(jié)心得，從而培養(yǎng)了學(xué)生閱讀理解、歸納總結(jié)、深化主題、完善表達(dá)的能力，并且又提出了新的問(wèn)題：什么是標(biāo)準(zhǔn)形式?暫時(shí)告訴學(xué)生曲線(xiàn)的一般形式就是標(biāo)準(zhǔn)形式，在學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，總結(jié)出標(biāo)準(zhǔn)形式的意義：

(1)標(biāo)準(zhǔn)形式能具體判定曲線(xiàn)的形狀與位置(代數(shù)到幾何的過(guò)程)；

(2)標(biāo)準(zhǔn)形式中的各系數(shù)都有一定的幾何意義(不變量)；

(3)滿(mǎn)足相應(yīng)約束條件(圖形的形狀與位置)的軌跡就一定是這種形式(幾何到代數(shù)的過(guò)程)。

再反過(guò)來(lái)解釋化成標(biāo)準(zhǔn)形式的必要性：為確定曲線(xiàn)的形狀與位置，一定的形狀和位置的曲線(xiàn)都有相應(yīng)結(jié)構(gòu)的方程，為此，可在一定條件下進(jìn)一步簡(jiǎn)化求曲線(xiàn)方程的步驟：用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程，必須強(qiáng)調(diào)的是：可用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程的前提是已知曲線(xiàn)的形狀和位置，特別對(duì)于橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，更要強(qiáng)調(diào)曲線(xiàn)的位置的重要性，即對(duì)稱(chēng)軸必須與坐標(biāo)軸平行或重合，這樣又體現(xiàn)了選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的原則——充分利用曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，于是總結(jié)出求曲線(xiàn)方程的一般方法，方法一：題設(shè)給出的約束條件難以判定曲線(xiàn)的形狀，可按上述三個(gè)必要步驟求出曲線(xiàn)方程，方法二：題設(shè)給出的約束條件可以判定曲線(xiàn)的形狀，可用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程，但要注意曲線(xiàn)的位置。

這樣，整個(gè)教學(xué)的過(guò)程貫穿著解析幾何的基本問(wèn)題：幾何特征與代數(shù)特征的關(guān)系，并且以此為主線(xiàn)，分階段、分層次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法，這樣極大地激發(fā)了學(xué)生的能動(dòng)性，使學(xué)生的能力和潛力得到了充分的發(fā)揮。