哥德爾與不完備定理

劉　瑋

話說皓天從人工智能館出來后，竟對那個漂亮的機器人服務(wù)員心生愛慕，因而被鵬飛善意地嘲笑了一把。

在回辦公室的路上，皓天打趣道：“你們做的機器人居然已經(jīng)達到了這么高的水平——能夠和真人談戀愛了!”

鵬飛不置可否地笑了笑。

“那你們能制造出一個超越你們的機器人，來代替你們進行科學(xué)研究嗎?”

沉默了一會兒，鵬飛意味深長地問皓天：“還沒忘記你夢到的哥德爾王吧!想了解他嗎?”

“當(dāng)然了，我們?nèi)ト斯ぶ悄莛^不就是為了更好地了解他嗎?難道他是搞人工智能開發(fā)的?”

“他是一位偉大的數(shù)學(xué)家，雖然不研究人工智能，卻給人工智能設(shè)制了限制……唉!他的一生都充滿了矛盾!”

“此話怎講?”

“哥德爾的好友愛因斯坦曾經(jīng)說過：‘他的工作否定了他的信仰。在我看來，他的信仰又否定了他的生命?！?/p>

鵬飛簡述了哥德爾的矛盾生涯。哥德爾堅信“一切數(shù)學(xué)定理系統(tǒng)都是可證的”。開始時，他的工作是為了證明自己的這個信仰，但事與愿違，縝密的邏輯證明并沒有給他的信仰增加證據(jù)，反而與信仰背離。他只得放棄了證明信仰的企圖。1931年，他提出了一個偉大的定理——哥德爾不完備定理。

哥德爾證明：任何無矛盾的自洽的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能在有限的步驟內(nèi)判定其真假，也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的!這便是聞名于世的不完備定理。

“但是哥德爾卻不能在生活中發(fā)現(xiàn)‘不完備定理。在生活中他只信賴他的妻子。哥德爾拒絕其他人為他做飯，理由是不能證明這些人是衛(wèi)生的。后來在他妻子生病住院期間，哥德爾也是同樣拒絕他人為他提供生活上的幫助。最后哥德爾餓死在醫(yī)院里。哥德爾在工作中證明的絕對的理性是不存在的，那么他在生活中卻沒有放棄追求絕對理性的信仰，所以說他的信仰否定了他的生命。哥德爾的工作是偉大的，而他的一生卻不免帶有悲劇色彩。”

但皓天還是一臉茫然：“哥德爾的這個定理好像是針對數(shù)學(xué)的吧，我看不出它與我那個‘生死未決的夢及人工智能有什么聯(lián)系?！?/p>

鵬飛開導(dǎo)他說：“你一定對我們那場報告開始時設(shè)計的問題有印象吧，‘這句話是假話是個自我否定的判斷，從邏輯上是無法判斷到底是真還是假的?！?/p>

皓天對判斷這類問題的邏輯上的無窮擺動是深有感觸的，就像夢中的他被想要處死他的士兵在真理與謬誤之神面前來來回回地拖拽!但皓天還是不太清楚：“這是為什么呢?”

“我們來考慮這樣一個問題：1-1+1-1+1-1+…=?無窮多次地減1和無窮多次地加1，最終應(yīng)該等于多少?”

皓天一下子就找出了這個算式的規(guī)律：“很明顯，等于零!你看，1-1+1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+(1-1)+-…=0?！?/p>

“再想一想，如果換一種組合來考慮，可能就不一樣了，比如還可以：1-1+1-1+1-1+…=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1?！?/p>

“這樣的話，應(yīng)該還有別的答案，如果把正、負1的位置調(diào)換一下，1-1+1-1+1-1+…=-1+1-1+1-1+…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1?！?/p>

鵬飛進一步啟發(fā)：“其實，你可以讓這個式子等于任意整數(shù)。知道為什么嗎?”

皓天想了想：“原因就出在它有無窮多項，無法確定它會在哪一項停止，也就無法確定它等于多少了!”

鵬飛非?？隙ǖ攸c了點頭：“‘無窮也許就是人的思維和智力無法到達的極限吧，在出現(xiàn)‘無窮的地方，總是會出現(xiàn)人們無法確定的悖論。”

皓天的思路被打開了：“我明白了，原來‘這句話是假話就是一個無法停止的判斷，就像在夢中我說‘我將被在謬誤之神面前處死而被士兵拉來拉去一樣無法確定?！?/p>

鵬飛進一步開導(dǎo)：“這兩個例子為何都會使判斷無窮無盡進行下去而無法停止呢?原因是什么?”

皓天想了想：“是因為這兩句話都是自指判斷吧?自我否定都是自相矛盾的，是必然導(dǎo)致悖論的吧?”

“是的，要想對這樣的命題作個判斷，每作一次判斷都必須跳到圈外，而每次跳躍都因為被否定而不能停止，判斷者只好永不休止地判斷下去。每一個思索‘我是誰?的人都要無窮退后?！冰i飛接著說，“如果給一臺計算機下一道命令：‘計算機永遠不能打印出這個陳述!你想這臺計算機該怎么辦?讓它打印這樣的判斷，計算機會通過程序不停地判斷是打印呢還是不扣印，機器便無法停機了?！?/p>

皓天早想插話了：“就像有人問相信存在萬能的上帝的人‘上帝能制造出他自己搬不動的石頭嗎一樣!”

“這樣的問題已經(jīng)被哥德爾用嚴密的數(shù)學(xué)證明過了?！冰i飛舒了口氣。

“所有那些無法停機的判斷對于計算機來講，都是一個無底的深淵，有人把它比作‘邏輯黑洞，計算機一旦掉進去就出不來了。但人是不會那么傻地一直往下掉的，看!你現(xiàn)在就不再思考上面的問題了，哥德爾定理告訴被們：所謂的理性只不過是建立在有意識或無意識的假設(shè)基礎(chǔ)上的邏輯游戲。所以說，人的心智在某種情況下要比純理性思維廣闊得多?”

皓天哈哈一笑：“別說了，說了半天，你只不過想強調(diào)無法制造出超過自己的機器人而已!可是哥德爾定理對人腦為何不成立?”

“人腦仍然在進化之中，它是不自洽的，也是不完備的啦!”