條條思路通電場

井　淼

古詩云“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，說明了從不同的角度觀察問題會(huì)有不同的收獲。解決物理問題何嘗不是這樣呢？很多同學(xué)在思考問題時(shí)腦子經(jīng)常放不開，跳不出條條框框的束縛，不是圍著書本和教師轉(zhuǎn)，就是陷入題海之中。因此，要讓思維由封閉狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)化到開放狀態(tài)，就應(yīng)當(dāng)提倡立體思維，也就是多角度、多層次地思維。在解決物理問題時(shí)注重“一題多解”的訓(xùn)練，學(xué)會(huì)從不同的角度來思考問題，就可以鍛煉思維的敏捷性，活躍解題思路。本文以電場中的一些題目為例，希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

【例1】 如圖1所示，A、B、C、D是勻強(qiáng)電場中一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢分別為φA=15 V，φB=3 V，φC=-3 V，由此可知D點(diǎn)電勢φD=______V。

圖1

◎ 解法一：等分法

對(duì)角線AC上的電勢是連續(xù)、單調(diào)變化的，連結(jié)AC，將AC之間的線段3等分，則圖2中的P、Q兩點(diǎn)的電勢分別是φ=9 V，φ=3 V。連結(jié)BQ即成一條等勢線；連結(jié)DP，可以證明DP∥BQ，所以DP也為等勢線，則有φD=φP=9 V。

圖2

◎ 解法二：結(jié)論法

根據(jù)我們學(xué)過的結(jié)論，在勻強(qiáng)電場中，兩條平行線間相等距離上的電勢差相等。兩條長度相等的線段AD和BC，與場強(qiáng)方向間的夾角又相等，則U=U，即φ-φ＝φ-φ，易得φ=9 V。

點(diǎn)評(píng) 在勻強(qiáng)電場中，沿任意一個(gè)方向上，電勢降落都是均勻的，故在同一直線上相同間距的兩點(diǎn)間的電勢差相等。如果把某兩點(diǎn)間的距離分為n段，則每段兩端點(diǎn)的電勢差等于原電勢差的。像這樣采用等分間距求電勢問題的方法，叫做等分法。在已知電場中幾點(diǎn)的電勢時(shí)，如果要求其他點(diǎn)的電勢，一般采用等分法在電場中找與待求點(diǎn)電勢相等的等勢點(diǎn)。在勻強(qiáng)電場中，相互平行的且相等的線段兩端的電勢差相等，應(yīng)用這一點(diǎn)也可求電勢。“電場線和等勢線均是間隔均勻、互相平行的直線”以及“沿任意方向電勢均勻變化”是勻強(qiáng)電場的固有特性，這也是解決本題的重要依據(jù)。

【跟蹤訓(xùn)練】

1. （2007?全國）a、b、c、d是勻強(qiáng)電場中的四個(gè)點(diǎn)，它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，電場線與矩形所在平面平行，如圖3所示。已知a點(diǎn)的電勢為20 V，b點(diǎn)的電勢為24 V，d點(diǎn)的電勢為4 V，由此可知c點(diǎn)的電勢為（）

圖3

A． 4 VB． 8 V

C． 12 VD． 24 V

【例2】 半徑為R的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一質(zhì)量為m，帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場，如圖4所示。珠子所受的電場力是重力的倍，將珠子從環(huán)上最低點(diǎn)A靜止釋放，則珠子所能獲得的最大動(dòng)能是多少？

圖4

【分析】 設(shè)珠子的電荷量為q，電場強(qiáng)度為E，珠子在運(yùn)動(dòng)過程中受到三個(gè)力的作用，如圖5所示，其中只有電場力和重力對(duì)珠子做功，其合力為F==mg

圖5

設(shè)F與豎直方向夾角為θ，則sinθ==，cosθ==

◎ 解法一：常規(guī)解法

珠子從A點(diǎn)釋放后沿著圓環(huán)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它對(duì)初位置A的偏角小于θ時(shí)，合力F對(duì)珠子做正功，珠子的動(dòng)能增大；當(dāng)它對(duì)初始位置A的偏角大于θ時(shí)，合力F對(duì)珠子做負(fù)功，珠子的動(dòng)能減小。可見，當(dāng)珠子的偏角恰等于θ時(shí)，即其速度方向垂直F時(shí)，珠子的動(dòng)能達(dá)最大值。如圖6所示，由動(dòng)能定理得珠子動(dòng)能的最大值為

圖6

Emax=FERsinθ－mgR（1－cosθ）

=mgR

◎ 解法二：等效法

可以將水平方向的電場，等效看成空間有一個(gè)水平力場，水平力場強(qiáng)度g=g，它與豎直向下的重力場形成的復(fù)合力場的總強(qiáng)度為g′，g′與g之間的夾角設(shè)為θ，如圖7所示

圖7

珠子沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能最大的位置就是當(dāng)它與圓心的連線沿著g′方向的位置。于是由能的轉(zhuǎn)換立即可求出Emax=mg′R（1－cosθ）=mgR。

點(diǎn)評(píng)在高中物理中，小到等效勁度系數(shù)、合力與分力、合速度與分速度、總電阻與分電阻等；大到等效勢能、等效場、矢量的合成與分解等，都涉及到物理量的等效。如果能將物理量等效觀點(diǎn)應(yīng)用到具體問題中去，可以使我們對(duì)物理問題的分析和解答變得更為簡捷。

【跟蹤訓(xùn)練】

2. 如圖8所示，在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場中，一絕緣輕細(xì)線一端固定于O點(diǎn)， 另一端系一帶正電的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球帶電荷量為q，質(zhì)量為m，絕緣細(xì)線長為L，電場的場強(qiáng)為E，若帶電小球恰好能通過最高點(diǎn)A，則在A點(diǎn)時(shí)小球的速率v1為多大？小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)的速率v2為多大？運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)細(xì)線對(duì)小球的拉力為多大？

圖8

圖9

【例3】 如圖9所示，用線把小球A懸于O點(diǎn)，靜止時(shí)恰好與另一固定小球B接觸。今使兩球帶同種電荷，懸線將偏離豎直方向某一角度θ1，此時(shí)懸線中的張力大小為T1；若增加兩球的帶電荷量，懸線偏離豎直方向的角度將增大為θ2，此時(shí)懸線中的張力大小為T2，則（）。

A. T

C. T>T D. 無法確定

◎ 解法一：正交分解法

在懸線偏離豎直方向某一角度θ時(shí)，小球A的受力情況如圖10所示，重力mg方向豎直向下，懸線拉力T沿懸線方向與豎直方向的夾角為θ，兩球間的庫侖力F沿兩球的連線方向，由幾何關(guān)系確定F與水平方向的夾角為。

圖10

沿水平和豎直兩個(gè)方向?qū)π∏駻所受力進(jìn)行正交分解，并由平衡條件得：

Fcos－Tsinθ＝0①

Fsin＋Tcosθ－mg＝0 ②

由①、②兩式可解得：

T＝mg③

③式表明：懸線中的張力與懸線和豎直方向的夾角θ無關(guān)。

答案：B

◎ 解法二：相似三角形法

小球A的受力情況如圖11所示，重力mg、懸線張力T、庫侖力F，這三個(gè)力的合力為0。因此這三個(gè)力構(gòu)成封閉的力的三角形，且正好與幾何三角形OAB相似，有：

==

因?yàn)镺A＝OB，所以T＝mg。即T與θ無關(guān)，故選B。（由于懸線長度不變，小球重力也不變，且小球受力平衡，則從上面受力三角圖也可分析出答案）

圖11

點(diǎn)評(píng) 在求解力的平衡問題時(shí)，我們通常采用合成法和分解法，在某些三力平衡問題中，采用常規(guī)的方法分析卻很繁瑣，甚至得不出正確結(jié)果，而借助相似三角形的比例關(guān)系求解，往往會(huì)使問題變得很簡單，易于求解。相似三角形法即是通過對(duì)研究物體進(jìn)行受力分析，受到的力構(gòu)成的力的矢量三角形與幾何三角形相似來求解未知力。

【跟蹤訓(xùn)練】

3. 如圖12所示，帶電小球A、B的電荷量分別為QA、QB，QA=QB，都用長L的絲線懸掛在O點(diǎn)，靜止時(shí)A、B相距為d。為使平衡時(shí)AB間距離減為，可采用以下哪些方法（）

圖12

A．將小球A、B的質(zhì)量都增加到原來的2倍

B．將小球B的質(zhì)量增加到原來的8倍

C．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半

D．將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半，同時(shí)將小球B的質(zhì)量增加到原來的2倍

【例4】 如圖13所示，半徑為r的硬橡膠圓環(huán)，其上帶有均勻分布的正電荷，單位長度上的電荷量為+q，其圓心O處的合場強(qiáng)為零?，F(xiàn)截去圓環(huán)頂部一小段圓弧AB，AB長度為l（l<

圖13

A．O處場強(qiáng)方向豎直向上

B．O處場強(qiáng)方向豎直向下

C．O處場強(qiáng)大小為

D． O處場強(qiáng)大小為

◎ 解法一：利用圓環(huán)的對(duì)稱性

即圓環(huán)上的任意一小段在圓心處所產(chǎn)生的場強(qiáng)，都與相對(duì)稱的一小段產(chǎn)生的場強(qiáng)大小相等，方向相反，相互疊加后為零。由于AB段被截掉，所以本來與AB相對(duì)稱的那一小段所產(chǎn)生的場強(qiáng)就成為了整個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的合場強(qiáng)。因題目中有條件l<

◎ 解法二：填補(bǔ)法

將AB段看成是一小段帶正電和一小段帶負(fù)電的圓環(huán)疊放，這樣仍與題目的條件相符。而帶正電的小段將圓環(huán)補(bǔ)齊，整個(gè)帶電圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的場強(qiáng)為零；帶負(fù)電的一小段在圓心處產(chǎn)生的場強(qiáng)可利用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式求出，這就是題目所要求的答案。

點(diǎn)評(píng)物理中對(duì)稱現(xiàn)象比比皆是，對(duì)稱的結(jié)構(gòu)、對(duì)稱的作用、對(duì)稱的電路、對(duì)稱的物像等等。一般情況下，對(duì)稱表現(xiàn)為研究對(duì)象在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性、物理過程在時(shí)間上和空間上的對(duì)稱性、物理量在分布上的對(duì)稱性及作用效果的對(duì)稱性等。用對(duì)稱性解題的關(guān)鍵是敏銳地抓住事物在某一方面的對(duì)稱性，這些對(duì)稱性往往就是通往答案的捷徑，利用對(duì)稱法分析解決物理問題，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問題的實(shí)質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解問題。

【跟蹤訓(xùn)練】

4. 如圖14所示，帶電荷量為+q的點(diǎn)電荷與均勻帶電薄板相距為2d，點(diǎn)電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心。若圖中a點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為零，根據(jù)對(duì)稱性，帶電薄板在圖中b點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小為＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。

圖14