萬有引力知識的另類復習法

傅臘生　曾菊寶

一題多解及多變是學好高中物理的一種切實有效的方法。一題多解就是從不同角度用所學知識挖掘問題中所涉及到的基礎知識以及各知識點間的聯(lián)系，運用不同的方法來解決同一問題的方法；而一題多變則是將某一問題變換條件或改變某一關鍵詞而使得題目發(fā)生變化，在高考命題中的陳題翻新就屬這類問題，它有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，有利于完善我們的物理知識體系，避免陷入題海，能收到舉一反三，觸類旁通之功效。

下面舉例說明：

【例1】 能發(fā)射周期為80 min的人造地球衛(wèi)星嗎？

在人造衛(wèi)星的發(fā)射中，要想發(fā)射一顆80 min繞地球一周的衛(wèi)星，為什么是不可能的？試說明理由。

一、從衛(wèi)星的周期入手討論

設人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運轉(zhuǎn)周期為T，軌道半徑為r，地球的質(zhì)量為M，萬有引力常數(shù)為G，根據(jù)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的向心力就是地球?qū)λ囊?，有：mr＝G

可得：T＝2π，由周期公式可以看出，衛(wèi)星軌道半徑r越小，周期也越小，當衛(wèi)星在地球表面附近運動時，即r＝R＝6.4×106 m，周期最小，此時：

T＝s＝5.1×103 s＝85 min

可見，T大于80 min，所以想發(fā)射一顆周期為80 min的衛(wèi)星是不可能的。

二、從衛(wèi)星運動的軌道半徑入手討論

假設衛(wèi)星的周期為80 min，則軌道半徑

r3＝＝m3≈2.3×1020m3，所以r≈6.2×106 m＜R

顯然，不可能發(fā)射一顆這樣的衛(wèi)星。

三、從地球提供的向心力入手討論

地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星所提供的向心力為：F＝G，T＝80 min時衛(wèi)星所需的向心力為： f＝

當r＝R＝6.4×106 m時，F(xiàn)＝≈9.8 m

f＝＝≈10.96 m

當r＝R時，地球?qū)πl(wèi)星所能提供的向心力最大，而衛(wèi)星所需的向心力最小，又由上分析可知F＜f，因此，要發(fā)射一顆周期為80 min的衛(wèi)星是不可能的。

四、從衛(wèi)星的環(huán)繞速度入手討論

設衛(wèi)星繞地球運轉(zhuǎn)的環(huán)繞速度為v，則有G＝m，得出：v＝

由公式可知：r越小，環(huán)繞速度越大，當r＝R＝6.4×106 m時，衛(wèi)星環(huán)繞地球的速度最大

v＝＝m/s≈7.9×103 m/s

若地球衛(wèi)星的周期為80 min，則其繞地球的線速度為：

v＝=m/s≈8.4×103 m/s

由此可見：v＞v，顯然，不可能發(fā)射一顆周期為80 min的地球衛(wèi)星。

像這樣多角度分析問題，既能激發(fā)思維、開闊視野，又能將所學知識靈活運用，更能使學習變得輕松有趣。

【例2】 同步通訊衛(wèi)星是進行現(xiàn)代通訊的重要工具，我國在同步衛(wèi)星發(fā)射方面已取得了令世人矚目的輝煌成就，進入了世界航天大國的行列。

如圖1所示為發(fā)射同步衛(wèi)星過程示意圖，發(fā)射時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1；然后點火，使其沿橢圓軌道2運行；最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點。

（1）當衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，試比較衛(wèi)星在軌道3上的速率與在軌道1上的速率的大小，以及衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度與它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度大小。

（2）有人認為在同步軌道上均勻分布三顆同步通訊衛(wèi)星，就可實現(xiàn)全球衛(wèi)星通訊，請你分析討論這一觀點正確與否。

【分析】 同步衛(wèi)星與一般的衛(wèi)星有共同點，也有不同點，共同點是：它們都是在地球?qū)ζ淙f有引力作用下的圓周運動；不同點是：一般衛(wèi)星的軌道無特殊要求，只要軌道平面過地球的球心即可，而同步衛(wèi)星的軌道要求較嚴，它的軌道平面不僅要通過地球的球心，而且要與赤道平面重合，如果不與地球的赤道平面重合，就不可能實現(xiàn)與地球的自轉(zhuǎn)同步。

（1）當衛(wèi)星分別在1、3軌道上正常運行時，都是在地球?qū)ζ淙f有引力的作用下的圓周運動，即有

G=m，則得衛(wèi)星的速率為v=

由上式可得，衛(wèi)星在軌道3上的速率小于在軌道1上的速率。

又因為同一顆同步衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點與它在軌道3上經(jīng)過P點時所受的地球的引力是相等的，由牛頓第二定律顯見，這兩個加速度是相等的。

（2）同步衛(wèi)星的軌道平面不僅要與地球的赤道平面重合，而且其軌道的高度也有嚴格的要求，該高度可由萬有引力提供向心力求得，即

G=m（R+h）

式中，M為地球的質(zhì)量，R為地球的半徑，T為同步衛(wèi)星的運行周期，即等于地球的自轉(zhuǎn)周期（可取24 h）。

整理代入有關數(shù)據(jù)得h＝3.587×104 km。

在同步軌道上互成120°均勻分布三顆同步通訊衛(wèi)星，能否實現(xiàn)全球衛(wèi)星通訊？這要看三顆同步衛(wèi)星能否覆蓋到地球的每一個角落。為此，我們不妨從衛(wèi)星處作與地球相切的兩條直線，如圖2，根據(jù)上述計算，同步衛(wèi)星的高度不是無限大，所以這兩根切線不可能通過地球的南北極點M、N。由此可見，不管在同步軌道上發(fā)射多少顆衛(wèi)星，都不可能完全覆蓋全球。

【變題】 如果為實現(xiàn)全球觀測而發(fā)射非同步衛(wèi)星，至少需要多少顆衛(wèi)星？

現(xiàn)有一顆偵察衛(wèi)星在通過地球兩極的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來。衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。

【錯解】 如圖3所示 ，則有cosθ=

所以θ＝arccos，又因為=

故L＝2Rarccos

【錯因分析】 該弧長是拍攝的最大弧長，而實際拍攝的弧長是小于該弧長的任意值。

【正確解析】 如果周期是12小時，每天能對同一緯度地區(qū)進行兩次觀測。如果周期是6小時，每天能對同一緯度地區(qū)進行四次觀測。如果周期是小時，每天能對同一緯度地區(qū)進行n次觀測。

設衛(wèi)星運行周期為T1，則有G=m

物體處在地面上時有=mg

解得：T1=，在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，即在日照條件下有次經(jīng)過赤道上空，所以每次攝像機拍攝的赤道弧長為L==T1，將T1結(jié)果代入得

L=。

【小結(jié)】 某天體繞另一個中心天體做勻速圓周運動時，運用萬有引力定律解天體問題實際上就是運用牛頓第二定律解圓周運動，歸屬于圓周運動的動力學問題，只不過這里由萬有引力來提供向心力。應用萬有引力定律來解決天體（包括自然天體和人造天體）的有關問題， 主要基于兩個等量關系：

①對中心天體表面物體G=mg （式中R為中心天體半徑，g為表面重力加速度，題中不涉及表面重力加速度時，則不涉及此式）。

②對繞行天體 G=m=mω2r=m（式中r為繞行天體到中心天體的球心間距）。

【例3】 1968年2月20日，發(fā)射升空的“和平號”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋。“和平號”風風雨雨15年鑄就的輝煌業(yè)績，已成為航天史上的永恒篇章?！昂推教枴笨臻g站總質(zhì)量137 t，工作容積超過400 m3，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱。在太空運行的這一“龐然大物”按照地面指令準確墜落在預定海域，這在人類歷史上還是第一次。“和平號”空間站正常行動時，距離地面的平均高度大約為350 km。為了保證空間站最終安全墜毀，俄羅斯航天局地面控制中心對空間站的運行做了精心安排和控制。在墜毀前空間站已經(jīng)順利進入指定的低空軌道，此時“和平號”距離地面的高度大約為240 km。在“和平號”沿指定的低空軌道運行時，其軌道高度平均每晝夜降低2.7 km。

設“和平號”空間站正常運行時沿高度為350 km圓形軌道運行，墜落前在高度240 km的指定圓形低空軌道運行。而且沿指定的低空軌道運行時，每運行一周空間站高度變化很小，因此，計算時對空間站的每一周的運動都可以作為勻速圓周運動處理。

（1）空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值多大？計算結(jié)果保留2位有效數(shù)字。

（2）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化多大？計算中取地球半徑R=6.4×103 km，計算結(jié)果保留一位有效數(shù)字。

【分析】 （1）不管空間站沿正常軌道運行，還是沿指定低空軌道運行，都是萬有引力恰好提供空間站運行時所需要的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有G=ma，

所以空間站運行時向心加速度是a=G，空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值是==2=0.9842=0.97

（2）萬有引力提供空間站運行時的向心力，有

G=mr

不計地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G=mg，有GM=R2g

則空間站在指定的低空軌道運行的周期T=

2πr=2πr==

≈5.3×103 s。設一晝夜的時間為t，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數(shù)為n===17，空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減小Δh=km=km=0.2 km。

【跟蹤訓練】

1. 2005年最壯觀的天文現(xiàn)象莫過于金星凌日，金星是太陽系里唯一逆向自轉(zhuǎn)的行星，金星上太陽西升東落，人們稱金星為太陽的“逆子”就是這個原因。如圖4，金星和地球繞太陽的運動可以近似看作同一平面內(nèi)的逆時針方向的勻速圓周運動。已知金星和地球公轉(zhuǎn)的半徑分別為1.1×108 km、1.5×108 km。從如圖4所示的金星與地球相距最近的時刻開始計時，估算金星再次與地球相距最近需多少地球年？（地球公轉(zhuǎn)周期為1年）

2. 已知地球上物體的逃逸速度（第二宇宙速度）為v2=，其中G、m、R分別是萬有引力常量、地球的質(zhì)量和半徑。已知G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，c=2.9979×108 m/s。

（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量m＝1.98×1030 kg，求它的可能最大半徑。

（2）在目前天文觀測范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為10－27kg/m3，如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？