靜電場中的奇妙能量關(guān)系

湯其超

電荷在電場中加速時(shí)速度不斷增大，動能增大，是電勢能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能的過程，這是一個(gè)看起來很簡單的道理，卻在下面的問題中啟發(fā)我們更多的思考。

1. 問題探討——電荷在同一靜電場中能反復(fù)加速嗎？

1.1 提出問題

圖1

如圖1所示，M、N是水平放置的兩平行正對金屬板，兩板中央有正對小孔A、B，兩孔與用絕緣材料制成的光滑軌道在豎直面內(nèi)相接，軌道的接口部分與板垂直，兩板分別帶上等量的異種電荷Q和－Q，兩板間的電勢差為U，兩板均與外界絕緣放置。現(xiàn)有一帶正電小球，其電荷量為q、質(zhì)量為m，如果讓小球從M板上方管道內(nèi)的P點(diǎn)以向左的初速度v開始運(yùn)動，不計(jì)小球運(yùn)動過程中所受的空氣阻力。求小球釋放后第n次回到P點(diǎn)時(shí)的速度。

【分析】 小球每運(yùn)動一周回到P點(diǎn)重力做的功為零，所以每一周都只有電場力做功，第n次回到P點(diǎn)，對全過程用動能定理得：

nqU=mv2－mv02

v=

1.2 問題探究

看起來這個(gè)問題很簡單，這個(gè)答案也沒有什么值得懷疑的。情況真的是這樣嗎？如果按這一思路，小球的運(yùn)動可以不斷循環(huán)，就可以不斷加速，那小球的能量就可以越來越大，但能量從何而來呢？這個(gè)裝置中沒有外界能量補(bǔ)充，小球豈不是憑空獲得了能量？而且這能量還可以繼續(xù)增加下去，這不就是一個(gè)永動機(jī)嗎？

那么真的可以這樣獲得能量制成永動機(jī)嗎？當(dāng)然能量是不可能憑空產(chǎn)生的，也沒有人能制成永動機(jī)。那這個(gè)問題的奇妙在何處呢？奇妙在于對電場空間的理解，在剛才的分析中只考慮了兩板之間內(nèi)部的電場，沒有考慮兩板外部空間的電場，也沒有關(guān)注外部空間的電場對我們所研究問題的影響，圖2是帶等量異種電荷的兩平行板內(nèi)外空間的電場分布，從這個(gè)圖中我們可以找到答案。

1.3問題解答

圖2

原來，帶電小球在兩板之間運(yùn)動時(shí)電場力做正功，電勢能減少，電勢能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能；小球從負(fù)極板射出后，小球從負(fù)極板的下方經(jīng)外部空間電場進(jìn)入正極板上方的過程中，受外部空間的電場作用，小球必須克服外部電場力做功電勢能才能增加，所以小球達(dá)到正極板上方時(shí)電勢能增加多少，其機(jī)械能就減少多少。實(shí)際上靜電場是保守力場，在任意靜電場中移動電荷，電場力做的功與路徑無關(guān)，只與始末兩點(diǎn)的位置有關(guān)，若繞閉合線環(huán)行一周，電場力做功為零，電勢能的變化量為零。

通過前面的分析我們可以得到，不管帶電小球運(yùn)行了多少周，有幾次經(jīng)過兩板之間的電場，只要再次回到P點(diǎn)，其速度都恢復(fù)到v，所以上題的答案是：帶電小球第n次回到P點(diǎn)的速度仍為v。

2. 思維延伸——回旋加速器里的秘密

我們熟悉的回旋加速器是利用了電荷在D形盒內(nèi)磁場的回旋從而實(shí)現(xiàn)在兩D形盒之間的電場中數(shù)次加速，使帶電粒子的能量不斷增加而獲得高能粒子，但大家是否注意到在兩D形盒之間加交變電場的意義呢？如果我們改變設(shè)計(jì)，加穩(wěn)恒電場又能不能實(shí)現(xiàn)使帶電粒子不斷加速的效果呢？請看下面的設(shè)計(jì)：

絕緣層

圖3

如圖3上下兩D形盒都在中央通過絕緣層隔開，分成左右兩部分，就可以在兩D形盒之間的左右兩部分區(qū)域加相反的電場，這樣就可以使帶電粒子在左右兩部分的穩(wěn)恒電場中一直得到加速，從而使帶電粒子的能量不斷增大。這不比加周期性同步交變電場簡單得多嗎？

通過前面的結(jié)論，這種設(shè)計(jì)是行不通的，這樣的裝置根本不能使帶電粒子得到加速，因?yàn)閷τ谄渲械娜魏我粋€(gè)穩(wěn)恒電場，帶電粒子繞行一周后電場力做的功都為零。

那么加交變電場有什么區(qū)別呢？因?yàn)榻蛔冸妶鲈趽Q向的過程中，不僅是改變了電場的方向，也改變了帶電粒子的電勢能狀態(tài)，從而使帶電粒子不斷地把電勢能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽?，保證帶電粒子不斷加速。

3. 習(xí)題討論

由于靜電場有這樣的特點(diǎn)，如果我們不能真正理解，在解題的時(shí)候就會犯概念上的錯(cuò)誤。請看下面的一個(gè)考題：

圖4

例：如圖4所示，極板長為L的平行板電容器傾斜固定放置，極板與水平線夾角為θ。某時(shí)刻一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的小球由正中央A點(diǎn)靜止釋放，小球離開電場時(shí)速度方向是水平的，落到距離A點(diǎn)高度為h的水平面上的B點(diǎn)，B點(diǎn)放置一絕緣彈性平板M，當(dāng)平板與水平夾角為α?xí)r，小球恰好沿原路返回A點(diǎn)。求：

（1）電容器極板間的電場強(qiáng)度；

（2）平板M與水平面夾角α。

解：

（1）由帶電粒子沿水平方向做勻加速運(yùn)動可知：

Eqcosθ=mg

得：E=

（2）根據(jù)動能定理：Eq?Ltanθ=mv02

粒子沿原路返回可得速度方向應(yīng)與平板表面垂直：tanα=

聯(lián)立得：α=arctan（）

圖5

在這個(gè)問題中，兩板之間看作勻強(qiáng)電場處理，這是完全合理的，但兩板之外的電場的影響是不是能忽略就值得商榷了，如圖5所示，根據(jù)前面對靜電場的討論，小球從C到P的過程顯然存在電場力做功，如果從C點(diǎn)射出的初速度較小，P點(diǎn)靠近D點(diǎn)，電場力做的功明顯可能大于重力做的功，這個(gè)題也就沒有什么實(shí)際意義，更重要的是給我們形成了錯(cuò)誤的思想，認(rèn)為電荷在兩板之外就完全不考慮電場的作用。