虛功原理在競(jìng)賽中的妙用

姚學(xué)林　肖相如　熊兆熙

虛功原理是指物體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，若物體由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)虛位移，則外力在位移上所做的虛功W恒等于物體內(nèi)力合力在虛位移上所做的內(nèi)力虛功W ?？珊?jiǎn)單寫(xiě)成：W（外力功）=W（內(nèi)力功）。

虛功原理的應(yīng)用條件是：力系應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足平衡條件——力系是平衡的。

在高中物理競(jìng)賽中有一部分靜力學(xué)的問(wèn)題，如果應(yīng)用一般的常規(guī)方法往往需要復(fù)雜的列方程和煩瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，但如果對(duì)分析力學(xué)中的虛功原理有所了解并應(yīng)用，會(huì)使得我們的解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。下面就我們常見(jiàn)的幾個(gè)問(wèn)題舉例：

例1如圖1所示，5根長(zhǎng)度均為l的質(zhì)量均為m的均質(zhì)桿，將它們端點(diǎn)鉸接成為正六邊形機(jī)構(gòu)，固定在天花板上，使六邊形在豎直平面內(nèi)，并用不可伸長(zhǎng)的輕繩一端連在下桿中點(diǎn)掛在天花板上，輕繩豎直，求繩上的張力。

解析：若用常規(guī)做法，需要列幾個(gè)受力平衡和力矩平衡方程。用虛功原理可以化簡(jiǎn)計(jì)算。

設(shè)此時(shí)繩長(zhǎng)為l，則五根桿構(gòu)成的系統(tǒng)的重力勢(shì)能為E=－2mg－2mg－mgl=－3mgl

假設(shè)繩長(zhǎng)有dl的變化，則繩子張力做功為W=－Tdl

由虛功原理有W=dE 即－Tdl=d（－3mgl）=－3mgdl

得T=3mg

可見(jiàn)虛功原理可大大減少運(yùn)算量。

例2勻質(zhì)桿AB始終在平面內(nèi)，A端靠在光滑墻上，B端在一光滑曲面上，如圖2示。若無(wú)論B在何處桿均受力平衡，求曲面方程。

解法一：常規(guī)受力分析

如圖3所示，因曲面光滑，約束力合力沿法向。

于是有：=tanφ= ①

由幾何關(guān)系：sinθ=x/l ②

由豎直方向受力平衡得：N=P ③

對(duì)A點(diǎn)由力矩平衡得：

Ncosθ+（Plsinθ）/2=Nlsinθ ④

聯(lián)立①②③④解出N，N后代入①式得：

=

d=d

令sinu = x/l，則上式化為：d=sinudu

積分得：

=－cosu+Cy=－+C′

因x=0時(shí)y=0，故有：C′=

所以曲線方程為：y=1-

此方法較煩瑣，且用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。

解法二：虛功原理

約束為理想約束，主動(dòng)力為重力，由虛功原理，虛位移中主動(dòng)力做功為零，即

Pδy=0

y=常量

由幾何關(guān)系：y=y+

故y+=常量

因x=0時(shí)y=0，故常量為。

故y=1-

顯而易見(jiàn)，采用虛功原理大大簡(jiǎn)化了我們的解題過(guò)程。

例3如圖4所示，四根相同的長(zhǎng)度為l的光滑輕桿由鉸鏈連接成菱形，一輕繩系在兩對(duì)角間，下部掛一重量為P的重物，系統(tǒng)放置于兩根等高相距為2a（2a＜2l）的桿上，求繩中的張力？φ角已知。

解法一：常規(guī)受力分析的方法

鉸鏈不提供力矩，故AP，CP對(duì)P點(diǎn)只有沿桿作用力。即F，Q處鉸鏈?zhǔn)芰ψ笥覍?duì)稱(chēng)，又為平衡。故作用力只有水平分量，即F。其余各力如圖5所示。

對(duì)AQ桿：

沿桿方向受力平衡：Fsinφ=F

對(duì)K點(diǎn)力矩平衡：Fcosφ=Fl－

對(duì)鉸鏈A：

豎直方向受力平衡：Fcosφ+Fsinφ=Fcosφ

水平方向受力平衡：T+Fsinφ+Fsinφ=Fcosφ

對(duì)鉸鏈P：

豎直方向受力平衡：2Fcosφ=P

聯(lián)立以上5式解得：T=P－tanφ

解法二：虛功原理

建立如圖4所示的坐標(biāo)系，主動(dòng)力為兩個(gè)T，及P，約束為理想約束，則有：

x=lsinφ δx=lcosφδφ

y=2lcosφ－acotφδy=－2lsinφδφ+a

由虛功原理得：－2Tδx+Pδy=0

將δxA，δyP代入可得：T=P－tanφ

例4四根長(zhǎng)為l重為mg，兩根長(zhǎng)為2l重為2mg的勻質(zhì)桿由鉸鏈連接，如圖6所示懸掛，圖中連接在節(jié)點(diǎn)之間的輕繩長(zhǎng)l，求其繩中的張力。

解法一：利用常規(guī)受力分析的方法再列出力的平衡方程和力矩的平衡方程求解，這里就不再贅述。

解法二：利用虛功原理進(jìn)行求解

將張力視為主動(dòng)力，設(shè)想一虛位移使B下降δy，則C下降2δy，BC增長(zhǎng)δy，故張力作功為： -Tδy

系統(tǒng)重心為B，重力做功為8mgδy

由虛功原理，應(yīng)有：

- Tδy+8mgδy=0

故T=mg

虛功原理不一定對(duì)連續(xù)體才適用，對(duì)于離散的系統(tǒng)同樣適用，其核心不變，主要工作是表示出系統(tǒng)質(zhì)心的位置，從而表示出系統(tǒng)的能量。具體見(jiàn)下題。

例5如圖7所示，一豎立在豎直面內(nèi)的半圓形空心管，管內(nèi)剛好裝有2n個(gè)光滑小珠子，已知每個(gè)珠子重力為W，求第i個(gè)珠子與第i+1個(gè)珠子的作用力Ni。

解法一：常規(guī)做法

如圖8所示，對(duì)第k個(gè)球進(jìn)行受力分析。圖中的角量分別是：α= β=－=

球在x方向受力為0，有：Ncosα+Wcosβ－Ncosα=0

整理得：N－N=W

那么求和可以得到：

N ==

==W

用常規(guī)方法作受力平衡的方程好列，但是最后數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧性很高。

解法二：利用虛功原理解答

如圖9，設(shè)任意珠子的球心到管的圓心OO′長(zhǎng)度為R，前面i個(gè)球?yàn)橄到y(tǒng)質(zhì)心為C，設(shè)CO長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

由虛功原理有：Ncosαdθ=iWd（Lsinθ）=iWLcosθdθ 其中α=

即：N=

現(xiàn)在目的是求出質(zhì)心位置參量L和θ

由對(duì)稱(chēng)性已知角度θ=2iα=iα

求L用旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖10所示。

i個(gè)大小為mR、方向一次相差角度2α的矢量和的大小應(yīng)該為imL。

有：imL=2sin（iα） 即L=

代入N的表達(dá)式得：

N===

=W

可見(jiàn)此題利用虛功原理不需太復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，但是在計(jì)算質(zhì)心這個(gè)物理工作上要求也挺高的，就此題而言，利用旋轉(zhuǎn)矢量法計(jì)算質(zhì)心位置是此題的關(guān)鍵。對(duì)物理方面的技巧的靈活應(yīng)用，是競(jìng)賽的基本素質(zhì)，也很好地體現(xiàn)了競(jìng)賽對(duì)提高思維的有效幫助。

除了在力學(xué)中，虛功原理在電磁學(xué)中同樣有應(yīng)用，對(duì)于有些情況，電磁力用常規(guī)方法無(wú)從下手，利用虛功原理便能很好地解決。

例6如圖11所示，一個(gè)外半徑為R1，內(nèi)半徑為R2的圓柱形電容器，豎直地插進(jìn)相對(duì)介電常數(shù)為ε的密度為ρ的電解液中，若將電容器接上電壓為U的電源，求電解液中液面上升的高度。

解析：為了求出液面上升的高度，需求出電容器內(nèi)液體受的電場(chǎng)力，在此用虛功原理求解。

先求出電容器電容：設(shè)單位長(zhǎng)度電容帶點(diǎn)為λ，則離軸線r處電場(chǎng)強(qiáng)度為E=

內(nèi)外筒電勢(shì)差為U=Edr= dr=ln

單位長(zhǎng)度電容為C==

若有電解質(zhì)有C′=

設(shè)電容器長(zhǎng)為L(zhǎng)，其中有電解液長(zhǎng)度為x，則電容器電容為：

C=xC′（L－x）C=

電容儲(chǔ)存電場(chǎng)能為E=CU2，設(shè)電解液受力為F（方向向上），假設(shè)電解液在F作用下向上移動(dòng)dx，由虛功原理有Fdx=dE=dCU2=dC=

得F=

液面上的電解液受力平衡有：F = ρhπ（R21-R22）g

得h=

從以上幾例中，我們可以看出虛功原理在一些常見(jiàn)問(wèn)題中的妙用。它其實(shí)讓我們從復(fù)雜的方程和運(yùn)算中解脫出來(lái)，把靜力學(xué)的問(wèn)題與能量的觀點(diǎn)結(jié)合起來(lái)。因?yàn)樵诤芏嗟膯?wèn)題中受力盡管很復(fù)雜，但能量的關(guān)系卻很簡(jiǎn)單。需注意，也不能亂用虛功原理。一定要注意它的適用條件。