帶電粒子在電場(chǎng)中的三類運(yùn)動(dòng)

劉　偉

第一類 在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子受到恒定的電場(chǎng)力，我們可以用牛頓第二定律和動(dòng)能定理兩種方法求解。由于動(dòng)能定理同時(shí)也適用于非勻強(qiáng)電場(chǎng)，因此應(yīng)用范圍更廣，普適程度更高。

（一）初速度方向與電場(chǎng)線平行

①當(dāng)粒子帶正電時(shí)，一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：qU=mv2－mv20，v=

②當(dāng)粒子帶負(fù)電時(shí)，一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：－qU=mv2－mv20，v=

我們注意到不論粒子電性是什么，射出小孔時(shí)的速度是由極板電壓U，粒子的比荷q/m和初速度v0共同決定的，而與極板間距d，場(chǎng)強(qiáng)大小E等其他因素?zé)o關(guān)。

（二）初速度方向與電場(chǎng)線垂直

帶電粒子受恒定電場(chǎng)力，沿曲線做勻變速運(yùn)動(dòng)，也叫類平拋運(yùn)動(dòng)。由于電場(chǎng)力對(duì)粒子做正功，因此射出電場(chǎng)后，粒子的動(dòng)能一定增加。由于粒子的軌跡是曲線，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解是我們處理此類問題的主要思路。如圖2所示，質(zhì)量為m，電量＋q的粒子，由中間沿平行水平極板AB的初速度v進(jìn)入電場(chǎng)后，將在電場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，所以我們把這樣的電場(chǎng)叫做偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，描述粒子經(jīng)過此電場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)的特征量為側(cè)移y和偏向角φ，它們之間存在著確定的定量關(guān)系：y=，tanφ=，y=tanφ。

雖然粒子事實(shí)上是沿拋物線射出電場(chǎng)的，但我們往往把它等效為從正中間O點(diǎn)沿著直線射出電場(chǎng)，這樣就用更簡單的直線代替曲線處理問題，特別是一些裝置（如擋板、熒光屏等）擺放空間位置交代明確的，依據(jù)“直線射出”，應(yīng)用相似三角形的關(guān)系處理，可以收到很好的效果。

圖2

如果初速度方向與電場(chǎng)線成任意角θ（θ不等于0°、90°、180°），那么粒子在電場(chǎng)中就做“類斜拋運(yùn)動(dòng)”，我們?nèi)钥梢杂眠\(yùn)動(dòng)的合成與分解的思想來解決。

第二類在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

（一）利用U=Ed作定性判定

如圖3所示，帶正電粒子沿電場(chǎng)線從a經(jīng)b到c，已知ab和bc間的距離相等，判斷動(dòng)能的增量ΔEKab和ΔEKbc的大小。

解析 由動(dòng)能定理qU=ΔEk可以作出判定，所以只需比較Uab和Ubc的大小。U=Ed在定量的計(jì)算上只能用于勻強(qiáng)電場(chǎng)，但在定性的判斷上我們可以拓展它的范圍，應(yīng)用于非勻強(qiáng)電場(chǎng)中。由電場(chǎng)線的分布我們知道，ab間的平均電場(chǎng)強(qiáng)度比bc間的小，它們間的距離相等，因此必有Uab＜Ubc，故ΔEKab＜ΔEKbc 。

（二）利用帶電粒子的電性、電場(chǎng)力做功正負(fù)、電場(chǎng)線疏密作定性判定

如圖4所示，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線為實(shí)線，某帶電粒子的軌跡ab為虛線。

分析此類問題一般都從三個(gè)角度入手：

１． 從力的角度：由電場(chǎng)線疏密判斷聯(lián)系著力的物理量（如F、E、a等）。b處更密，粒子在b處的F、E、a均大一些。

２． 從能量的角度：由指向軌跡凹處力的大致方向與軌跡切線的夾角確定電場(chǎng)力做功的正負(fù)，再由動(dòng)能定理（或能量守恒定律）判斷聯(lián)系著能量的物理量（如Ek、E電、v等）。從a到b電場(chǎng)力做正功，b處粒子的動(dòng)能Ek大，速度v大，由能量守恒知電勢(shì)能E電小。

３． 從電勢(shì)角度：由受力大致方向結(jié)合粒子電性，通過確定電場(chǎng)線方向來判斷電勢(shì)。由于粒子電性未知，我們不能確定電場(chǎng)線的方向，也就不能判斷電勢(shì)的高低。

帶電粒子在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中一般做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，特殊的可以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（粒子繞中心電荷的運(yùn)動(dòng)），我們通常用動(dòng)能定理（qU=ΔEk）或能量守恒來確定物理量的值。

第三類 在交變電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在交變電場(chǎng)中受到方向周期性變化的電場(chǎng)力作用，從總體上看粒子體現(xiàn)出三種基本的運(yùn)動(dòng)形式，一般都從兩條思路去處理。

思路一：階段分析法。分析粒子在一個(gè)周期內(nèi)各階段（以力方向的變化來劃分階段）的運(yùn)動(dòng)情況，再考慮運(yùn)動(dòng)的周期性。

思路二：v-t圖象法。根據(jù)已知條件作出粒子運(yùn)動(dòng)的v-t圖象來分析。

如圖5所示，質(zhì)量為m，帶電量為＋q的粒子，原來靜止于豎直放置、間距為d的平行金屬板間，兩極板間所加的電壓U隨時(shí)間t的變化如圖6所示。根據(jù)極板間加上電壓的不同時(shí)刻，粒子的運(yùn)動(dòng)可能存在著三種基本的運(yùn)動(dòng)形式。

基本形式一：一直向某一極板運(yùn)動(dòng)

設(shè)在t＝0時(shí)刻兩極板間加上電壓，并以右為正。

①0~內(nèi)，F(xiàn)=q，s1=at2=T2

在t＝時(shí)，v1=at=

向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

②~T內(nèi)，s2==T2

v2=v1－at=0，向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

即粒子在一個(gè)周期內(nèi)一直向右運(yùn)動(dòng)，先做勻加速運(yùn)動(dòng)再做勻減速運(yùn)動(dòng)，總位移s＝s1+s2＝T 2，末速度v2=0，以后重復(fù)這樣的運(yùn)動(dòng)。

對(duì)應(yīng)的v-t圖象如圖7所示。

如兩極板是在t＝時(shí)刻加上電壓，粒子的運(yùn)動(dòng)情況類似，只是一直向左運(yùn)動(dòng)。

基本形式二：往復(fù)運(yùn)動(dòng)

設(shè)在t＝時(shí)刻兩極板間加上電壓，并以右為正。

①~內(nèi)，水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

s1=T2v1=

②~內(nèi)，水平向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

s2=T2v2=0

③~T內(nèi)，水平向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

s3=T2v3=

④T~內(nèi)，水平向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

s4=T2v4=0

粒子在一個(gè)周期內(nèi)~，向右運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離2s1=T2，而總位移為零。

一個(gè)周期結(jié)束時(shí)，粒子恰好回到原靜止點(diǎn)（即出發(fā)點(diǎn)），恢復(fù)到原先的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。以后重復(fù)這樣的運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的v-t圖象如圖8所示。

如兩極板是在t＝時(shí)刻加上電壓，粒子的運(yùn)動(dòng)類似，只是開始時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。

基本形式三：一周期時(shí)間總體向某一方向運(yùn)動(dòng)，周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)有往返

設(shè)在t＝時(shí)刻兩極板加上電壓，并以右為正。

①~內(nèi)，水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

s1=T2 v1=

②~內(nèi)，水平向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

s2=T2 v2=0

③~T內(nèi)，水平向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

s3=T2 v3=

④T~內(nèi)，水平向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

s4=T2 v4=0

粒子在一個(gè)周期內(nèi)~，向右運(yùn)動(dòng)的總位移為s=2s1－2s2=T2，一個(gè)周期結(jié)束時(shí)，粒子速度恰好為零，以后重復(fù)這樣的運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的v-t圖象如圖9所示。

如兩極板是在t（除0、、、外）時(shí)刻加上電壓或極板上的電壓大小正負(fù)半軸不同，粒子的運(yùn)動(dòng)仍然是類似的，只是在一個(gè)周期內(nèi)通過的總位移大小和方向有所不同而已。

在具體的題設(shè)情景下，要能完整、清晰、充分地描述粒子在交變場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解讀其運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，我們往往需要把兩種方法結(jié)合起來分析：通過階段分析展示粒子在各個(gè)過程中運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，才能真正理解為什么這樣運(yùn)動(dòng)和怎樣運(yùn)動(dòng)，側(cè)重的是分析這個(gè)過程；通過v-t圖象直觀地再現(xiàn)了粒子的整個(gè)運(yùn)動(dòng)，物理量值間的關(guān)系簡約明了，側(cè)重的是解題這種手段。題給條件（臨界條件、隱含條件、極值條件等）的不同，會(huì)約束粒子的運(yùn)動(dòng)，這些限制性的條件是需要我們解題時(shí)仔細(xì)挖掘的。