在初中數(shù)學教育中如何運用化歸思想

楊可可

(廣西桂平市江口鎮(zhèn)二中537229)

【摘要】在初中數(shù)學教學中，數(shù)學思想對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力和數(shù)學素養(yǎng)具有十分重要的作用，其中化歸思想的應用廣泛。本文談了化歸思想的實質，化歸思想在代數(shù)教學中的運用、在幾何教學中的運用，和在代數(shù)、幾何中的綜合運用。在初中數(shù)學教學中，運用化歸思想指導數(shù)學學習，的確有事半功倍之效。

【關鍵詞】數(shù)學思想、化歸思想、轉化

In junior middle school mathematics education how using reduction thought

Yang Keke

【Abstract】In the junior middle school mathematics teaching, mathematics thought regarding raises student's creation power of thought and mathematics accomplishment has the very vital role, the reduction thought's application is widespread. This article discussed the reduction thought essence, the reduction thought in the algebra teaching utilization, in the geometry teaching utilization, with in algebra, geometry synthesis utilization. In junior middle school mathematics teaching, utilization reduction thought instruction mathematics study, really has the twice the result with half the effort effect.

【Key words】 Mathematics thought that reduction thought that transformation

在一段時期內，我們工作在第一線的初中數(shù)學教師，往往強調解決了數(shù)學的心臟——數(shù)學問題，得了結果而不去注重數(shù)學問題解決的方法及過程，所以，學生在老師的教學中得到了這個題目的答案，但在遇到同類型的題目時又總是毫無頭緒，無從下筆去解決，這樣就更要求我們數(shù)學老師們既要授學生與魚，更要授學生與漁，讓學生知其然，更知其所以然，數(shù)學老師應在數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法。

數(shù)學思想方法是數(shù)學科學的精髓和靈魂。數(shù)學教育應建立在數(shù)學思想方法和數(shù)學手段現(xiàn)代化的基礎上，其內容仍以經(jīng)典的、基礎的數(shù)學為主，只有這樣，學生掌握了數(shù)學方法、就能從整體上、本質上把握數(shù)學，優(yōu)化數(shù)學思維品質、實現(xiàn)教育目標，使學生獲得終生受益的東西。就是說：“即使把數(shù)學知識忘記了，但數(shù)學的精神和方法還會銘刻在頭腦中，并長久地在學習、工作、生活中發(fā)揮積極作用。數(shù)學思想包括：函數(shù)與方程的思想、結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想。而化歸思想貫穿整個初中數(shù)學，它在中學數(shù)學教學中應用十分廣泛，幾乎遍及每一道數(shù)學題，它是一種最基本的思維策略，是分析問題、解決問題的有效途徑。所以筆者就初中數(shù)學教學中如何應用化歸思想，談談一二淺見。

一、 化歸思想在代數(shù)中的應用。

在初中代數(shù)中將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想，化歸與轉化的思想的實質是揭示聯(lián)系、實現(xiàn)轉化，在教學中要培養(yǎng)自己自覺的化歸與轉化意識，主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系，所以有人認為“抓基礎、重轉化“是學好中學數(shù)學的金鑰匙。

如在代數(shù)方程求解時大多采用“化歸“思路，它是解決方程（組）問題的最基本思想，在解二元一次方程組、三元一次方程組時，不管是加減消元還是代入消元法都是利用化歸把方程組轉化為一元一次方程再求解。在利用換元法解方程時，也是通過化歸把高次方程轉化為低次方程，把分式方程轉化為整式方程，把無理方程轉化為有理方程，化難為易求解，分解因式無外是將原式轉化為能運用公式或含公因式的形式之后再分解，一次（二次、反比例）函數(shù)與方程有密切的聯(lián)系，代數(shù)式的運算是實數(shù)運算的拓寬。

例１：恒等變形法（化高次為低次）

已知： ，求 的值。

分析：題目的條件中所含的是字母x的一次式，而所求的結論中是x的二次式，因此我們可以通過降次，由結論向已知轉化；或通過升次，由已知向結論轉化。

解：

例２：參數(shù)變易法（化多元為一元）有時候為了達到由未知到已知，由難到易、由繁到簡的化歸，往往引進適當?shù)膮?shù)，從而使問題的表現(xiàn)形式或解的結構處于可變的狀態(tài)之中。例如：

若

分析：本問題可采用“參數(shù)變易法“增設一個未知數(shù)，令 ，表面上似乎增加了示知數(shù)的個數(shù)，實際上找到了新的等量關系，如 等，設參與消參的轉化達到了化多元為一元的目的，使問題順利求解。

解：設 ，則 ，代入原式，得

二、 化歸思想在幾何中的應用。

在初中幾何的學習中也是如此，例如研究四邊形、多邊形的問題時通過分割圖形，把四邊形、多邊形知識轉化為三角形知識來研究，解斜三角形的問題通過作三角形一邊上的高，轉化為解直角三角形問題；我們熟悉的梯形問題常通過作腰的平行線或作兩條高等常用輔助線，把梯形問題轉化為平行四邊形與三角形問題，圓中有關弦心距、半徑、弦長的計算亦能通過連結半徑作弦心距把問題轉化為直角三角形的求解等等。

（一）、形體分割法：例：在推導多邊形的內角和計算公式： 時，就是由特殊的四邊形、五邊形、六邊形等的內角和，推導出n邊形的內角和計算公式，如圖：通過分割的方法把多邊形轉化為三角形，利用三角形的內角和計算出多邊形的內角和。

依此類推得到：

（二）、疊加法（一般與特殊的轉化）：所謂疊加法，波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中是這樣說的：“從一個導引特款出發(fā)，利用特殊情形的疊加去得出一般問題的解”。疊加法的應用通常包括以下兩個步驟：第一，為了求得一般情形的解，首先處理一個特殊情形。這一特殊情形應當滿足以下的條件：它不僅易于求解，而且特別有用，即可以引導出一般情形的解。為此，稱這種特殊情形為“引導特款”。第二，用某種指定的代數(shù)運算（這就是所謂的疊加）把一些特殊情形組合起來，從而獲得一般情形的解。

疊加法即對未知成分進行分割，從而實現(xiàn)由一般到特殊的化歸。

例如：證明圓周角的度數(shù)等于同弧所對圓心角度數(shù)的一半。

分析：①如果圓心位于圓周角的一邊上（如圖1），這是一個容易處理的特殊情況，此時，

∵ ∠ACB=∠OBC,

∴ ∠AOB=∠ACB＋∠OBC=2∠ACB

即圓周角等于同弧所對圓心角的一半

②對于圓心不位于圓周角的一邊上的一般情況來說，只需進行適當?shù)摹胺指睢?，即只需過圓周角的頂點畫上一條直徑，便可以化歸成上述的特殊情況（如圖2、圖3）其中∠ACB=∠ACD＋∠DCB或∠ACB=∠DCB－∠ACD。

三、 化歸思想在幾何、代數(shù)中的綜合運用。

在幾何代數(shù)中實現(xiàn)化歸的具體形式是數(shù)與形的轉化，正如華羅庚教授所說:“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。將抽象的數(shù)量關系形象化，具有直觀性強、易理解、易接受的作用，將直觀圖形數(shù)量化，轉化成數(shù)學運算，常會降低難度，并可對知識的理解達到更深一個層次。

例如：在關于x的一元二次方程 中，a、b、c是Rt△ABC的三條邊，∠C＝90°,①求證：此方程必有兩個不相等的實數(shù)根；②如果這方程的兩根為x1,x2,且 求a:b:c

解：① ∵∠C＝90°，∴ 。

原方程整理為

∵ △＝ ＞0

∴ 方程必有兩個不相等的實數(shù)根；

②∵

∴ ，由此可知： ,

由

∴

此例把含有直角三角形的三邊代數(shù)式作為一元二次方程的系數(shù)，把幾何知識與代數(shù)知識聯(lián)系到一起，多次利用勾股定理： 的變形及根與系數(shù)關系進行消元、換元，達到化繁為簡的目的。

在初中數(shù)學教學中，應用化歸思想方法解題應注意三點：①注意緊盯化歸目標，保證化歸的有效性、規(guī)范性；②注意轉化的等價性，保證邏輯上的正確；③注意轉化的多樣性，設計合理的轉化方案。

正如前蘇聯(lián)數(shù)學家雅諾夫思卡婭所說：“解題——就是意味著把所要解的問題轉化為已經(jīng)解過的問題”?；瘹w思想是人的一種主觀要求，它可以化繁為簡，以簡馭繁，轉暗為明、化生為熟。在初中數(shù)學教學中合理運用，就能達到事半功倍之效。但并不是說化歸思想方法是萬能的，它也有一定的局限性，所以，數(shù)學教師在教學時必須從多方面去培養(yǎng)學生的思維方法，使學生靈活多變的去解決自己面臨的問題，充分發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢，活學活用，取長補短。

參考資料：

1、《化歸思想及其應用》莊桂忠

2、《中學數(shù)學方法論》丘瑞立鄒澤民

3、《數(shù)學教育與素質教育》王長沛

收稿日期：2009-03-27