特殊方法在直流電路問題中的應用

何天瑜

在直流電路問題中，同學們常因電路看起來復雜而感到無從下手；或在電路具有某種對稱性時，又不知對稱條件該如何運用。有時題目要求對電路問題作快速、定性分析或近似處理，在采用等效代換或一些特殊方法時，又常因忽視了適用條件而出現(xiàn)錯誤，這些均涉及直流電路問題中特殊方法的應用。下面我們結(jié)合實例逐一進行討論。

一、極限法

這種方法常用于對動態(tài)變化的直流電路的分析。

例如圖1所示電路，當可變電阻R變大時，AB間的電壓U與流過R的電流I的變化情況是（）

A. U增大 B. U減小 C. I增大

D. I減小 E. I不變

解這是一道需快速、準確回答的定性分析題，常用如下幾種方法：

1. 計算法

本題R、R、E、r不變，可解出I 隨R的變化，從而再解出U。

I=

I=I=?

=

U=IR=

顯然，隨著R增大，I減小，U增大，正確答案為A和D。這種方法的特點是準確，但是步驟多，不夠快捷。對于只要定性回答的問題，還可以用更加簡單的方法。

2. 理想設定法

可先假設電源內(nèi)阻r=0，此時E=U一定，于是，各量變化的關(guān)系為

R↑→R↑→I↓→U↓→U↑→I↑→I↓

同樣可以得出與計算法相同的結(jié)果。然而，這種方法相當于給原題附加了限制條件，是否影響了對結(jié)果判斷的正確性，還需進一步討論。

3. 極限法

這是此類問題常采用的方法。設想R變化到兩種極限情況，即短路和斷路情況。

當R短路時，R=0，I=I=，U=0

當R斷路時，R→∞，I=0，U=E

于是得出R變大時，I減小，U增大的結(jié)論。顯然，極限法能較快地得到結(jié)果。但是，應該看到，極限法的運用是有條件的，它只適用于I和U隨R的變化呈單調(diào)變化的情況。

二、等電位點的斷路或短路法

當電路具有某種對稱結(jié)構(gòu)時，常能找出等電位點，采用斷路或短路處理，不會對原來電路產(chǎn)生任何影響，由此可以簡化電路的計算。

例用12段電阻均為r的導線連接成立方框網(wǎng)絡，如圖2所示。在某一個邊線ad的兩端加數(shù)值為U的恒定電壓，求最遠對邊f(xié)g上的電流？

解如果不用特殊方法簡化，本題必須采用基爾霍夫方程法，未知數(shù)很多，解起來也很繁雜。稍加分析，可以看出此電路中b、e以及c、h為兩組等電位點，也就是說b與e以及c與h分別相對于a及d具有完全相同的地位，必然是等電位。將等電位b、e以及c、h短接，等效電路如圖3所示。由于簡化后的串并聯(lián)關(guān)系很清楚，很容易計算出電路總電阻為r，總電流I=，而流過fg支路的電流為。

按上述方法，還可以依次采用短路法計算出立方框某一面對角點，如a、h兩點間的等效電阻R；立方框兩對角間，如a、g兩點間的等效電阻R。將簡化方法，等效電路及等效電阻列表如下：

三、電流分布法與疊加原理

設電流I從網(wǎng)絡A端流入，B端流出。應用電流分流和網(wǎng)絡中任意兩點間不同路徑等電壓的關(guān)系，建立的網(wǎng)絡中各電阻的電流為未知量的線性代數(shù)方程組，解出各電流與I的比例關(guān)系，然后選取A到B的某一路徑計算出A、B間的電壓U，再由R=算得R。

例1圖4所示表示一個無窮方格電阻絲網(wǎng)絡的一部分，其中每一小段電阻絲的電阻均為r，求相鄰兩結(jié)點A、B之間的等效電阻RAB 。

解設電流I從A流入，向四面八方流到無窮遠處，根據(jù)對稱性，有電流由A點流到B點。假設電流I經(jīng)過無限長時間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到B點后流出，根據(jù)對稱性，同樣有電流經(jīng)A點流到B點。這樣，AB段的電流便由兩個疊加而成，這樣U=0.5I?r=I?R，即R=0.5r。

例2電阻絲網(wǎng)絡如圖5（a）所示，每一小段的電阻均為r，求AB間的等效電阻R 。

解圖5（b）中，電流I從A流入，O流出，I′=。又因?qū)ΨQ性，B、E等勢，故BDE中無電流，I′在C點分流，由并聯(lián)電流分流規(guī)律可得I′=I′=。

圖5（c）中，電流從O流入，B流出。利用對稱性得I″=，I″=I。

上述兩種電流分布疊加，構(gòu)成如圖5（d）所示網(wǎng)絡，電流I從A流入，從B流出，則

I=I′+I″=I，I=I′+I″=，U=I?r+I?2r=I?r

即R==r。

四、切割法

許多文獻都涉及關(guān)于無限網(wǎng)絡的計算問題，例如無限延伸的梯形網(wǎng)絡，處理方法與討論的角度常有不同，下面對一種常用的切割法加以討論。

例如圖6所示的電路網(wǎng)絡，每個阻值為R的電阻組成向一端無限延伸的梯形網(wǎng)絡。求端口AB間的等效電阻。

解一般的思路是先設想網(wǎng)絡為有限長，例如節(jié)數(shù)n有限時，設法找到R的通項公式，然后取n→∞的極限找到解。這樣做看似容易，實際比較復雜。為了找到更為簡單的方法，顯然應從梯形網(wǎng)絡的無限延伸特征入手。試在圖中的C、D兩點作假想切割，這一切割并非把電路切斷，而是將其分成兩部分來觀察。于是無限梯形電路的端口等效電阻R=R將可以被看作R與R電阻的并聯(lián)R與兩個R的串聯(lián)，即

R=2R+R=2R+

根據(jù)無限長電路的特征，截去一節(jié)的端口電阻R應與未截時的端口電阻R相差無幾，即有R=R

于是有R=R=2R+=2R+，很容易地得出R=R=（1±）R

舍去不合理的負值解，得到R=（1+）R

可見，采用切割法，再利用無限電路的特征，很容易地應用串并聯(lián)關(guān)系找到問題的解。這種做法繞開了求R通項公式，只使用了簡單的數(shù)學運算就達到了目的，起到了非常好的效果。