淺談如何上好高?！陡怕式y(tǒng)計(jì)》的第一節(jié)課

劉 章

[摘要] 探討高校教師上好高等院校必修課《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的第一節(jié)課的最佳教學(xué)方法。通過與學(xué)生的溝通與交流,讓學(xué)生自己提出感興趣的問題,用“情境模擬問題”為主的探討課形式作為這節(jié)課的主要教學(xué)模式。同時(shí),對學(xué)生提出的問題,引出概率學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中相關(guān)的知識(shí)與結(jié)論加以介紹并作簡單的引申推理。

[關(guān)鍵詞] 《概率統(tǒng)計(jì)》 情境模擬問題 教學(xué)模式 教學(xué)方法

剛進(jìn)入高校的理工科大學(xué)生,在經(jīng)過半年到一年的大學(xué)學(xué)習(xí)后,就會(huì)接觸到在高校數(shù)學(xué)方面的另外一門非常重要的必修課——《概率統(tǒng)計(jì)》(有些教材則稱之為《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》)。那么,作為一名高校數(shù)學(xué)老師,如何上好這門課的第一節(jié)課,使學(xué)生以最大的熱情投入到該門課的學(xué)習(xí)中去呢?

我們知道,在中學(xué)實(shí)行新課改以后,概率已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一部分內(nèi)容,很多學(xué)生已經(jīng)有了這方面的基礎(chǔ)。再加上又經(jīng)過了《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)作為鋪墊,因此,學(xué)習(xí)《概率統(tǒng)計(jì)》時(shí),應(yīng)該變得比較上手了。但是,有些學(xué)生一翻開書,看到里面的符號與公式密密麻麻,就覺得非常頭痛。為了解決這方面的問題并吸引學(xué)生學(xué)習(xí)該門課的興趣,老師可以嘗試用“情境模擬問題”為主的探討課形式作為主要的教學(xué)模式。

所謂“情境模擬問題”,就是指對學(xué)生提出的現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的各種問題,給出數(shù)學(xué)模型來模擬該問題,并使之與概率統(tǒng)計(jì)中的問題相結(jié)合,最終解決這類問題,對于剛接觸這門課的學(xué)生來說,這是一個(gè)非常好的方法,同時(shí),也是非常有效的方法。下面,就通過幾個(gè)實(shí)例來對學(xué)生提出的各類問題進(jìn)行一一模擬說明。

一、賭博中的概率統(tǒng)計(jì)(概率的起源)

概率的起源就是博弈,也就是我們稱的賭博,它正是法國兩個(gè)大數(shù)學(xué)家巴斯卡和費(fèi)馬最開始研究的。巴斯卡認(rèn)識(shí)兩個(gè)賭徒,這兩個(gè)賭徒向他提出了一個(gè)問題:他們進(jìn)行一場對局,他倆下賭金之后,約定誰先贏滿5局中的3局(每局兩人獲勝的幾率一樣),誰就獲得全部賭金。當(dāng)A贏了2局,B贏了1局時(shí),時(shí)間很晚了,他們都不想再賭下去了。那么,賭金該怎么分?是不是把錢分成3份,贏了2局的就拿2份,贏了1局的就拿1份呢?或者,因?yàn)樽钤缯f的是滿3局,而誰也沒達(dá)到,所以就一人分一半呢?這兩種分法都不對。正確的答案是:贏了2局的拿這個(gè)錢的3/4,贏了1局的拿這個(gè)錢的1/4。為什么呢?假定他們倆再賭一局,或者 A贏,或者 B贏。若是 A贏滿了3局,錢應(yīng)該全歸他;A如果輸了,即 A、B各贏2局,這個(gè)錢應(yīng)該對半分?，F(xiàn)在, A贏、輸?shù)目赡苄远际?/2,所以,他拿的錢應(yīng)該是1/2×1+1/2×1/2=3/4,當(dāng)然,B就應(yīng)該得1/4。

通過這次討論,開始形成了概率論當(dāng)中一個(gè)重要的概念——數(shù)學(xué)期望。在這個(gè)問題中,數(shù)學(xué)期望是一個(gè)平均值,就是對將來不確定的錢今天應(yīng)該怎么算,這就要用A贏輸?shù)母怕?/2去乘上他可能得到的錢,再把它們加起來。概率論從此就發(fā)展起來,今天已經(jīng)成為應(yīng)用非常廣泛的一門學(xué)科。

二、軍事中的概率統(tǒng)計(jì)(概率的發(fā)展)

軍事中也有概率統(tǒng)計(jì)嗎?回答是當(dāng)然的。在1941到1942年的二戰(zhàn)期間,盟軍的美國和英國造的坦克作戰(zhàn)能力超過了德國的Panzer坦克。但是,盟軍還是很擔(dān)心德國的新型坦克Mark IV和Mark V。而且盟軍根本就不知道德國人一年能造出多少坦克來。缺少這個(gè)信息,盟軍對西線作戰(zhàn)的勝利沒有把握。一開始,情報(bào)部門觀察德國坦克制造廠,甚至專門在戰(zhàn)場上數(shù)德國人的坦克。這些方法收獲甚微。后來情報(bào)部門找來了統(tǒng)計(jì)學(xué)專家,想看一看他們有沒有什么好的辦法。統(tǒng)計(jì)學(xué)家們有一個(gè)關(guān)鍵信息:繳獲的Mark V坦克上的序列號。原理是這樣的:德國坦克編號是1,23……N。這里的N就是坦克的總生產(chǎn)數(shù)量。假設(shè)盟軍繳獲了5臺(tái)坦克,他們的編號分別是20,31,43,78和 92。這里樣本總數(shù)S是5,最大序列號M是92。他們在其它一些系列上進(jìn)行了測試和演算,得出了一個(gè)公式:制造總量=(M-1)(S+1)/S。在上面的例子中,(92-1)(5+1)/5 = 109.2。所以,總產(chǎn)量在109左右。運(yùn)用這個(gè)公式,統(tǒng)計(jì)學(xué)家門得出結(jié)論:在1940年6月到1942年9月,德國每個(gè)月制造出246臺(tái)坦克。情報(bào)部門得出的數(shù)據(jù)要高得多,1400臺(tái)。戰(zhàn)爭結(jié)束后,盟軍拿到了制造廠的生產(chǎn)報(bào)表,數(shù)據(jù)顯示這三年德國每月生產(chǎn)245臺(tái)坦克。

這方面的討論可以幫助學(xué)生了解到學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的重要作用,是統(tǒng)計(jì)學(xué)家?guī)椭塑娳A得了戰(zhàn)爭。當(dāng)然,這些知識(shí)的原理學(xué)生現(xiàn)在還掌握不了,但至少吸引了他們學(xué)習(xí)的興趣,對后面的教學(xué)會(huì)有很大的幫助的。

三、政治中的概率統(tǒng)計(jì)(現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用)

民調(diào)(又稱民意調(diào)查、民意測驗(yàn))在我們現(xiàn)實(shí)中已經(jīng)非常普遍,是一種了解公眾對某些政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等問題的意見和態(tài)度的調(diào)查方法,其目的在于通過對大量樣本的問卷調(diào)查來較為客觀、精確地反映社會(huì)輿論或民意動(dòng)向。小到對生活中某一件事的看法,大到國家領(lǐng)導(dǎo)人的選舉,都可以由民意調(diào)查體現(xiàn)出來。我們來看2009年8月底的日本眾議院大選(直接決定總統(tǒng)人選):在選舉之前,民意調(diào)查結(jié)果顯示,日本民主黨在眾議院比例代表選舉中的支持率比執(zhí)政的自民黨高出一倍,達(dá)到35.9%,最終結(jié)果是日本民主黨獲得在眾議院480個(gè)議席中的308個(gè),壓倒性優(yōu)勢擊敗執(zhí)政黨自民黨。為什么民調(diào)可以如此準(zhǔn)確地反應(yīng)結(jié)果呢?原因可由概率中的中心極限定理給出:設(shè)一個(gè)國家進(jìn)行總統(tǒng)選舉,推出兩個(gè)候選人,若民調(diào)顯示候選人A的支持率為P,比候選人B的支持率多5個(gè)百分點(diǎn),同時(shí),若使得A最終能夠當(dāng)選的概率達(dá)到97%,則需要調(diào)查的人數(shù)可由 結(jié)合求出,得n=1308人。換句話說,在一個(gè)國家進(jìn)行約對1300多人的民意調(diào)查中,若其中一個(gè)人的民調(diào)領(lǐng)先另外一個(gè)人3個(gè)百分點(diǎn)以上,那么,他最終當(dāng)選的概率可以達(dá)到97%。當(dāng)然,若想使這個(gè)概率變得更大一點(diǎn),只需再增加調(diào)查的人數(shù)就可以了。在這個(gè)例子中,民主黨的民意結(jié)果遙遙領(lǐng)先,最終大勝也就不足為奇了。

四、分紅中的概率統(tǒng)計(jì)(經(jīng)濟(jì)的應(yīng)用)

保險(xiǎn)公司的利潤靠的是保費(fèi)及再投資,銀行靠利息及貸款,企業(yè)靠投資產(chǎn)品的回報(bào)及年終分紅。每個(gè)行業(yè)都想以最小的投入獲得最大的回報(bào)。但經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本原理告訴我們,風(fēng)險(xiǎn)與利潤是直接掛鉤的,一般來說,風(fēng)險(xiǎn)愈大,利潤愈高。而風(fēng)險(xiǎn)又與概率緊密相連。所以說,學(xué)好了概率統(tǒng)計(jì),就為學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué)打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),為以后走向各個(gè)行業(yè)奠下一個(gè)理論的基石。只這一點(diǎn)來說,對學(xué)生也是大大有益的。

當(dāng)然,還有其他方面的應(yīng)用。對于學(xué)生提出的各類問題,都可以用概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)加以模擬,同時(shí),加以引申推廣,用通俗易懂的語言在這第一節(jié)課中給學(xué)生闡述出來。著名的教育學(xué)家曾經(jīng)說過:“如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機(jī)會(huì)嘗盡為求解問題而奮斗的喜怒哀樂,那它的教育就在最重要的地方失敗了?！瘪R克思預(yù)言:一門學(xué)科只有等它成功的運(yùn)用了數(shù)學(xué)之后,才算達(dá)到真正完善的進(jìn)步。對于《概率統(tǒng)計(jì)》這門數(shù)學(xué)的分支,教師應(yīng)該立足于實(shí)際,立足于基礎(chǔ),把學(xué)生提出的問題與概率統(tǒng)計(jì)學(xué)有機(jī)地結(jié)合,用“情景模擬問題”,上好完美的《概率統(tǒng)計(jì)》第一節(jié)課。

參考文獻(xiàn):

[1]馬瑋.例談如何上好概率探究課.上海中學(xué)數(shù)學(xué),2009,(6).

[2]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.高等教育出版社,2004.

[3]張闞,豐雪.立足實(shí)際,上好概率統(tǒng)計(jì)課.現(xiàn)代教育科學(xué),2005,(8).