判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

王彩霞

【摘要】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，本文從單調(diào)性的定義入手，總結(jié)了判斷單調(diào)性的常見方法，并且強(qiáng)調(diào)了易錯點(diǎn)：考察函數(shù)的單調(diào)性，必須首先考慮其定義域。

【關(guān)鍵詞】定義、定義域、方法

Judgment function monotonous commonly used method

Wang Caixia

【Abstract】The function monotony was the function important nature, this article obtains from the monotonous definition, to summarize the judgment monotonous common method, and emphasized Yi Cuodian: The inspection function's monotony, must paramount consideration its domain of definition.

【Key words】 Definition, domain of definition, method

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它揭示了函數(shù)定義域的某個子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的變化趨勢．在證明不等式，解不等式，比較大小，求最值等數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用，會 判斷函數(shù)的單調(diào)性很重要，下面例析幾種常見判斷方法．

一 、 定義法

函數(shù)單調(diào)性的定義是探索單調(diào)性的依據(jù)，用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的難點(diǎn)是區(qū)間端點(diǎn)的確定，基本步驟：設(shè)元—作差—變形—判號—結(jié)論，其中變形是關(guān)鍵，常見方法有因式分解法，配方法等．

例1：求 在 上的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性．

解：設(shè)

則

當(dāng) 時，∵∴即

.原函數(shù)在 上是減函數(shù)．

當(dāng) 時，∵∴

，原函數(shù)在 上是增函數(shù)．

二、圖像法

利用函數(shù)圖像的變化趨勢直觀判斷出單調(diào)區(qū)間，圖像從左到右逐漸上升，則函數(shù)在其區(qū)間上為增函數(shù)，圖像從左到右逐漸下降，則函數(shù)在其區(qū)間上為減函數(shù)，要求正確作圖．

例2：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性．

解：在直角坐標(biāo)系中做出 的圖像，把 軸下方的部分，翻折到 軸上方，上方圖像保持不變，所得圖像即為所求．

由圖像知：函數(shù)在 上是增函數(shù)。在 上是減函數(shù)．

三、利用函數(shù)性質(zhì)

若 都為增（減）函數(shù)，則 在公共定義域內(nèi)為增（減）函數(shù)．

若 為增（減）函數(shù)， 為減（增）函數(shù)，則 在公共定義域內(nèi)為增（減）函數(shù)．

若 在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，當(dāng) 時， 與 在區(qū)間D上具有相同的單調(diào)性．當(dāng) 時， 與 在區(qū)間D上具有相反的單調(diào)性．

例3：求函數(shù) 在 上的最值．

解：令 在 上是增函數(shù)， 在 上是增函數(shù)，

故 在 上是增函數(shù)．

所以當(dāng) 時， ．

四、復(fù)合法

復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)性規(guī)律是：內(nèi)函數(shù) 與外函數(shù) 的增減性相同（相反），則 是增（減）函數(shù)．上述規(guī)律可概括為“同增異減”．在確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，除弄清內(nèi)外函數(shù)及單調(diào)性外，還必須考慮函數(shù)的定義域．

例4：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．

解：由得 ．故函數(shù)的定義域為 ．

令

所以 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)．

又 在 上是增函數(shù)．

所以原函數(shù)在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)．

五、利用已知函數(shù)的單調(diào)性

將所求函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)如：一次函數(shù)，二次函數(shù)，正（反）比例函數(shù)，指（對）數(shù)函數(shù)等的單調(diào)性．

例5：指出 的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性．

解：原函數(shù)即為

所以在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．

六、導(dǎo)數(shù)法

設(shè)函數(shù) 在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，若 ，則 在區(qū)間D上為增函數(shù)，若 ，則 在區(qū)間D上為減函數(shù)．

例6：求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間．

解：令 ，得 或

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ．

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，在討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，然后進(jìn)行判斷．

收稿日期：2009-01-09