幾類廣義正規(guī)性關(guān)系的一些注記

唐 娜

(1.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇淮安 223300;2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇蘇州 215006)

幾類廣義正規(guī)性關(guān)系的一些注記

唐 娜1，2

(1.淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇淮安 223300;2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇蘇州 215006)

討論了λ-補(bǔ)、弱s-補(bǔ)、c-補(bǔ)等幾類廣義正規(guī)性之間的關(guān)系，并得到部分相關(guān)結(jié)果:1)令P是G的Sylow p-子群且Op'(G)=1，若G的每個(gè)包含P的真子群都是p-冪零的且H在G中λ-補(bǔ)，HSE是P的正規(guī)子群，則H在G中c-補(bǔ)或存在G的次正規(guī)子群T使得HSE是T的Sylow p-子群且［G∶T］=［P∶HSE］;2)令H是G的4階循環(huán)子群，若O2'(G)=1，H在G中λ-補(bǔ)，則H在G中弱s-補(bǔ);3)令P是G的2-子群且N是G的包含在P中的2階正規(guī)子群，若O2'(G)=1且P的每個(gè)4階子群在G中λ-補(bǔ)，則P的每個(gè)極小子群均在G中弱s-補(bǔ).

λ-補(bǔ);弱s-補(bǔ);c-補(bǔ);s-擬正規(guī)嵌入;s-擬正規(guī)

本文中涉及的群均為有限群，并采用符號(hào)G表示，另參照文獻(xiàn)［1-2］使用了標(biāo)準(zhǔn)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào).

近年來(lái)，廣義正規(guī)性一直是可解群的研究熱點(diǎn)之一［3-5］.若H與G的所有子群都相乘可換，則稱H在G中擬正規(guī).進(jìn)一步地，若H與G的所有Sylow子群都相乘可換，則稱H在G中s-擬正規(guī)［6］.Ballester-Bolinches等［7］認(rèn)為若對(duì)于G的子群H的階的任意素因子p，H的Sylow p-子群Hp也是G的某個(gè)s-擬正規(guī)子群的Sylow p-子群，則稱H在G中s-擬正規(guī)嵌入.2000年，Ballester-Bolinches等［8］再次提出c-補(bǔ)的概念，認(rèn)為對(duì)于G的子群H，若存在G的子群K使得HK=G且H∩K≤HG，這里HG是包含在H中的G的最大正規(guī)子群，則稱H在G中c-補(bǔ).Skiba［9］結(jié)合考慮s-擬正規(guī)與c-補(bǔ)，給出了弱s-補(bǔ)子群的概念.Li等［10］結(jié)合s-擬正規(guī)嵌入和c-補(bǔ)，給出了λ-補(bǔ)的概念.本文擬探討λ-補(bǔ)、弱s-補(bǔ)、c-補(bǔ)等幾類廣義正規(guī)性間的關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［9］194令H是G的子群，若存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤HSG，則稱H在G中弱s-補(bǔ)，這里HSG是包含在H中的G的最大s-擬正規(guī)子群.

定義2［10］4373令H是G的子群，若存在G的子群T使得G=HT且H∩T≤HSE，這里HSE是G的所有s-擬正規(guī)嵌入子群所生成的H的子群，則稱H在G中λ-補(bǔ).

引理3［6］214G的s-擬正規(guī)子群在G中次正規(guī).

引理4［11］若G的子群H在G中s-擬正規(guī)，則H/HG是冪零的.

引理5［12］若H在G中s-擬正規(guī)，且對(duì)某素?cái)?shù)p，H是一個(gè)p-群，則Op(G)≤NG(H).

引理6［13］令H是G的冪零子群，則下述結(jié)論等價(jià):

1)H在G中s-擬正規(guī);

2)H≤F(G)且H在G中s-擬正規(guī)嵌入.

2 主要結(jié)果

定理7 令P是G的Sylowp－子群且O p′（G）＝1，若G的每個(gè)包含P的真子群都是p－冪零的且H在G中λ－補(bǔ)，H SE是P的正規(guī)子群，則H在G中c－補(bǔ)或存在G的次正規(guī)子群T使得H SE是T的Sylowp－子群且［G∶T］＝［P∶H SE］.

證明 由于H在G中λ－補(bǔ)，故存在G的子群K使得H K＝G且H∩K≤H SE，于是存在G的子群T使得H SE是T的Sylowp－子群；又因T在G中s－擬正規(guī)，所以由引理3可知T在G中次正規(guī).

若T G＝1，那么由引理4知T＝T／TG是冪零的.因?yàn)門(mén)次正規(guī)于G，所以存在G的次正規(guī)群列TG12…G.由于T≤F（G1），而F（G1）charG12，因此T≤F（G1）≤F（G2）.依此類推，T≤F（G）.又因Op′（G）＝1，故T≤F（G）＝Op（G），從而H SE＝T在G中s－擬正規(guī).由引理5知Op（G）≤NG（H SE），因此T＝H SEPN G（H SE）＝G，這與TG＝1矛盾，故T G＞1.

若PTG＜G，則由題設(shè)知PT G是p－冪零的，故T G的Hallp′－子群S在G中正規(guī)，而Op′（G）＝1，所以S＝1，即T G是p－群.因?yàn)門(mén)／T G≤F（G）／T G≤F（G／T G），所以H SE／TG≤Op（G／TG）≤Op（G）／T G.由引理6可得H SE在G中s－擬正規(guī).由引理5有H SEPN G（H SE）＝G，即H SE＝H G，故H在G中c－補(bǔ).若PTG＝G，則容易得到T＝T∩G＝（T∩P）T G＝H SE T G，因而［G∶T］＝［PTG∶H SE T G］＝［P∶H SE（P∩T G）］＝［P∶H SE］，結(jié)論成立.定理證畢.

定理8 令H是G的4階循環(huán)子群，若O2′（G）＝1，H在G中λ－補(bǔ)，則H在G中弱s－補(bǔ).

證明 由題設(shè)H在G中λ－補(bǔ)可知存在G的子群T使得H K＝G且H∩K≤H SE，故存在G的s－擬正規(guī)子群K，H SE是K的Sylow子群，再根據(jù)Burnside定理［14］推斷K是2－冪零的.令K′是K的正規(guī)Hall 2′－子群，L是K′的極小正規(guī)子群，那么由Feit－Thompson奇階定理可知L是素?cái)?shù)冪階的交換群.另由引理3知K在G中次正規(guī)，故L在G中次正規(guī)，即存在G的次正規(guī)群列LG1G2…G，于是L≤F（G1）.因F（G1）charG1G2，故F（G1）G2，于是L≤F（G1）≤F（G2）.依此類推，L≤F（G）.又因?yàn)镺2′（G）＝1，所以L≤F（G）＝O2（G），這與L是2′－群矛盾，故K′＝1，即H SE＝K在G中s－擬正規(guī)，因此H在G中弱s－補(bǔ).

定理9 令P是G的2－子群且N是G的包含在P中的2階正規(guī)子群，若O2′（G）＝1且P的每個(gè)4階子群在G中λ－補(bǔ)，則P的每個(gè)極小子群在G中弱s－補(bǔ).

證明 令K是P的2階子群且K≠N，那么T＝K N是4階的初等交換2－群.由題設(shè)P的每個(gè)4階子群在G中λ－補(bǔ)可知存在G的子群R使得TR＝G且T∩R≤T SE，所以存在G的s－擬正規(guī)子群S使得T SE是S的Sylow 2－子群.根據(jù)Burnside定理［14］75有L／N是S／N的正規(guī)Hall 2′－子群.因?yàn)镹為2階子群，所以L＝NL2′，這里L(fēng)2′是L的Hall 2′－子群.若L2′≠1，則由Feit－Thompson奇階定理有L2′可解知存在L2′的素?cái)?shù)冪階的正規(guī)交換子群C.因?yàn)镃L2′LS且S在G中次正規(guī)，所以C在G中次正規(guī).進(jìn)一步地由O2′（G）＝1，有C≤F（G）＝O2（G），矛盾，故S＝T SE在G中s－擬正規(guī).由引理3知TSE在G中次正規(guī)，即存在G的次正規(guī)群列T SEG1G2…G，從而TSE≤F（G1）.根據(jù)F（G1）charG1G2知F（G1）G2，所以T SE≤F（G1）≤F（G2）.依此類推，T SE≤F（G）.又因O2′（G）＝1，故T SE≤O2（G）.令Q是G的Sylowq－子群且q≠2，因?yàn)榍襈Q是2－冪零的，所以K正規(guī)化Q，KQ是G的子群，于是存在子群G使得KG＝G且K∩G＝K SG＝K，從而K在G中弱s－補(bǔ).

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Some notes on relations of some kinds of generalized normalities

TANG Na1，2

（1.Sch of Math Sci，Huaiyin Norm Univ，Huai’an 223300，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

In this paper，we study the relations of some kinds of generalized normalities and obtain some results：1）LetPbe a Sylowp－subgroup ofGwithOp′（G）＝1.If every proper subgroup ofGcontainingPisp－nilpotent，Hisλ－supplemented inGandH SEis a normal subgroup ofP，then eitherHisc－supplemented inGor there exists a subnormal subgroupTofGsuch thatH SEis a Sylowp－subgroup ofTand［G∶T］＝［P∶H SE］；2）LetHbe a cyclic subgroup ofGof order 4.IfO2′（G）＝1 andHisλ－supplemented inG，thenHis weaklys－supplemented inG；3）LetPbe a 2－subgroup ofGandNa normal subgroup ofGof order 2 contained inP.IfO2′（G）＝1 and every subgroup of order 4 ofPisλ－supplemented inG，then every minimal subgroup ofPis weaklys－supplemented inG.

λ－supplemented；weaklys－supplemented；c－supplemented；s－quasinormal embedded；s－quasinormal

O 152.1

A

1007-824X(2015)03-0001-03

2014-04-18.E-mail:hytn999@126.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471138，11171243);江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(15KJB110002，14KJB110002).

唐娜.幾類廣義正規(guī)性關(guān)系的一些注記［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，18(3):1-3.

（責(zé)任編輯 林 子）