教材習題 高考影子

1.一組課本習題的集中展示

（1）畫出函數f(x)=x2+2x－1，x∈0，+∞－x2+2x－1，x∈(－∞，0)的圖像，指出函數的單調區(qū)間，并求出函數的最大值或最小值；（普通高中課程標準實驗教科書數學 必修1 蘇教版 第43頁）

（2）已知函數f(x)=x2－2x－1，試判斷函數f(x)的奇偶性，并畫出函數的圖像；（普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修1 蘇教版 第43頁）

（3）畫出函數y=x2－x的圖像.（普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修1 蘇教版 第93頁）

這幾個問題散落在課本的習題及復習參考題中，將它們放在一起來共同研究，會發(fā)現(xiàn)它們至少有如下兩個共同點：

①都是由中學階段一類最常見、最重要的函數——二次函數演變而來的；

②都強調要求畫出函數的圖像.方法主要有以下兩個：將（2）、（3）兩個函數的形式寫成如（1）中的分段函數形式，比如（2）中的函數解析式寫成f(x)=x2－2x－1，x≥0x2+2x－1，x<0，

（3）中的函數解析式寫成f(x)=x2－x，x≤0或x≥1－x2+x，0

這幾個問題的解決體現(xiàn)了將抽象的問題具體化、陌生的問題熟悉化、復雜的問題簡單化的原則.它們起點不高，但意味深遠，為將來進一步利用這些函數深入的研究其他問題埋下伏筆！ 2.變式題：課本習題的一種外延

例1 （1）求函數f(x)=x2－2x－1－1的最小值及對應的x值.

【解析】因為f(x)=x2－2x+1，x≥1x2+2x－3，x<1，

當x≥1時，ymin=f(1)=0；

當x<1時，ymin=f(－1)=－4.

綜上所述，ymin=f(－1)=－4.

（2）求函數f(x)=x2－2ax－1－1，(a∈R)的最小值及對應的x值.

【解析】因為f(x)=x2－2ax+2a－1，x≥1x2+2ax－2a－1，x<1，

當a≥1時，函數f(x)的圖像如下圖所示，

當x∈1，+∞時，ymin=f(a)=－a2+2a－1；

當x∈－∞，0時，ymin=f(－a)=－a2－2a－1.

又f(－a)

同理可得，

當－1

當a≤－1時，ymin=f(1)=0.

綜上所述，當a≥－1時，ymin=f(－a)=－a2－2a－1；

當a<－1時，ymin=f(1)=0.

3.高考題：課本習題的一個歸屬

例2 （2008 浙江 15）已知t為常數，函數y=x2－2x－t在區(qū)間［0，3］上的最大值為2，則t= .

【解析】因為函數y=x2－2x－t的圖像可由函數y=x2－2x－t的圖像保留其在x軸上方的部分而將其在x軸下方的部分（如果有的話）沿x軸翻著到x軸上方得到(圖略，有興趣的讀者可自行研究).

故，函數y=x2－2x－t在區(qū)間［0，3］上的最大值在x=1或x=3時取.

當x=1時，ymax=t+1=2，解得t=1或t=－3.經檢驗，t=－3不符合題意；

當x=3時，ymax=3－t=2，解得t=1或t=5.經檢驗，t=5不符合題意.

綜上所述，t=1.

例3 （2009 江蘇 20）設a為實數，函數f(x)=2x2+(x－a)|x－a|.

(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；

(2)求f(x)的最小值；

(3)設函數h(x)=f(x)，x∈(a，+∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集.

【解析】（1）若f(0)≥1，則－a|a|≥1a<0a2≥1a≤－1

（2）由已知得，f(x)=3x2－2ax+a2，x≥ax2+2ax－a2，x

當x≥a時，f(x)=3x2－2ax+a2，f(x)min=f(a)，a≥0f(a3)，a<0=2a2，a≥02a23，a<0；

當x≤a時，f(x)=x2+2ax－a2，f(x)min=f(－a)，a≥0f(a)，a<0=－2a2，a≥02a2，a<0.

綜上f(x)min=－2a2，a≥02a23，a<0.

(3)x∈(a，+∞)時，h(x)≥1得3x2－2ax+a2－1≥0，Δ=4a2－12(a2－1)=12－8a2

當a≤－62或a≥62時，Δ≤0，x∈(a，+∞)；

當－620，得(x－a－3－2a23)(x－a+3－2a23)≥0x>a

1）a∈(22，62)時，x∈(a，+∞)

2）a∈［－22，22］時，x∈［a+3－2a23，+∞)

3）a∈(－62，－22］時，x∈(a，a－3－2a23］∪［a+3－2a23，+∞)

這些課本習題就像很多好萊塢的影視劇一樣，給讀者留下想象的空間，給導演留下將來再拍寫續(xù)集的可能！我們平時不妨多研究這些問題，讓自己先行當回導演，來拍拍續(xù)集！