測試一 導數(shù)與函數(shù)
2009-04-29 00:00:00
中學課程輔導·高考版 2009年9期
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分．不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上．
1.已知全集U=Z，A={-1，0，1，2}，B={x|x2=x}，則A∩CUB等于 ．
2.集合M={x|x=kπ2+14π，k∈Z}，N={x|x=kπ4+12π，k∈Z}，則M與N的關(guān)系是 ．
3.函數(shù)y=x-32的定義域是 ．
4.已知命題p：“x＜0，x2＞0”，則7p是 ．
5.設f(x)＝|x-1|-2，|x|≤1，11+x2，|x|＞1，則f\\12)\\〗＝ ．
6.對a，b∈R，記min {a，b}=a(a＜b)b(a≥b)，函數(shù)f(x)=min 12x，-|x-1|+2(x∈R)的最大值為 ．
7.不等式log13(x-1)＞-1的解集為 ．
8.已知條件p：|x-1|≤1，條件q：x2-ax-1≤0，若條件p是條件q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
9.若lg 2=a，lg 3=b，則用字母a，b表示log23+log3 4= ．
10.設函數(shù)f(x)=(12)x-1(x≤0)x12(x＞0)已知f(a)>1， 則實數(shù)a的取值范圍為 ．
11.（理）直線l：y=mx(m＞0)與拋物線y=x2+2ax（其中a＜0且a為常數(shù)）所圍成的圖形的面積為-92a3，則m= ．
11.(文)如果冪函數(shù)y=(m2-3m-3)xm2+m-2的圖像不過原點則m的值為 .
12.函數(shù)f(x)＝log12|x2-2x+1|的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
13.給出下列四個命題：
①函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同；
③函數(shù)y=12+12x-1與y=(1+2x)2x#8226;2x都是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間\\．（把你認為正確的命題序號都填上）
14.三個同學對問題“關(guān)于x的不等式x2+16+|x3-4x2|≥ax在\\上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍”提出了各自的解題思路．
甲說：“只需不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；
乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；
丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”．參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是 ．
二、解答題：本大題共6小題，計90分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
15.（本小題滿分14分）
記函數(shù)f(x)=2-x+3x+1的定義域為A，g(x)=lg\\，(a＜1)的定義域為B．若BA，求實數(shù)a的取值范圍．
16.（本小題滿分15分）
若函數(shù)f（x）=x2+ax+a+5(a∈R)在區(qū)間\\上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
17.（本小題滿分14分）
已知函數(shù)f(x)=x+ln x．
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間\\上的最值；
（Ⅱ）對x∈D，如果函數(shù)F(x)的圖像在函數(shù)G(x)的圖像的下方，則稱函數(shù)F(x)在D上被函數(shù)G(x)覆蓋．求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上被函數(shù)g(x)=x2覆蓋．
18.（本小題滿分14分）
煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染．已知A，B兩座煙囪相距3 km，其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比（比例系數(shù)為k）．若C是連接兩煙囪的線段AB上的點（不包括端點），設AC=x km，C點的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使該點的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．
19．（本小題滿分15分）
定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)，對于任意的m，n∈(0，+∞)，都有f(m#8226;n)=f(m)+f(n)成立，當x＞1時，f(x)＜0.
（Ⅰ）計算f(1)；
（Ⅱ）證明f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)；
(Ⅲ)當f(2)=-12時，解不等式f(x2-3x)＞-1．
20．（本小題滿分18分）
設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)滿足下列條件：
①當x∈R時，f(x)的最小值為0，且f(x-1)=f(-x-1)成立；
②當x∈(0，5)時，x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立．
(Ⅰ)求f(1)的值；
(Ⅱ)求f(x)的解析式；
(Ⅲ)求最大的實數(shù)m(m＞1)，使得存在實數(shù)t，只要當x∈\\時，就有f(x+t)≤x成立．
測試一 導數(shù)與函數(shù)參考答案
一、填空題
1．{-1，2} 2．MN 3．(0，+∞) 4．x＜0，x2≤0 5．413
6．1 7．(1，4) 8．a(chǎn)≥32
9．2(a2+b2)ab 10．a(chǎn)≤0或a＞1
11．(理)-a （文）-112．(-∞，1) 13．①③ 14．(-∞，8\\〗
二、解答題：
15．解：A={x|x＜-1或x≥1}
B={x|2a＜x＜a+1}
要使BA，則a+1≤-1或2a≥1
則a≤-2或12≤a＜1
16．解：（1）若f(-2)=0，則a=9，計算得另一零點為-7，符合要求；
（2）若f(3)=0，則a=-72，計算得另一零點為12，不符合要求；
（3）若f(-2)#8226;f(3)＜0，則得a＜-72或a＞9，
綜上所述，a＜-72或a≥9（備注：Δ=0的情形不予考慮.）
17．解：（1） 在f′(x)=1+1x＞0在\\恒成立.
∴f(x)在\\為增函數(shù).
∴f(x)min=f(1)=2，f(x)max=f(e2)=e2+2
(2)g(x)-f(x)=x2-x-ln x
(g(x)-f(x))′=2x-1-1x＞0在(1，+∞)恒成立.
g(x)-f(x)在(1，+∞)為增函數(shù).
∴g(x)-f(x)＞g(1)-f(1)=0得證.
18．解:（1）設 處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，
∴C在A處的煙塵濃度為8kx2
C在B處的煙塵濃度為k(3-x)2.其中0＜x＜3.
從而C處總的煙塵濃度為y=8kx2+k(3-x)2.(0＜x＜3)
（2）由y′=-16kx3+2k(3-x)3=18k(x-2)(x2-6x+12)x3(3-x)3=0，解得x=2.
故當0＜x＜2時，y′=0.當2＜x＜3時y′＞0.
∴x=2時，y取得極小值，且是最小值.
答:在連接西煙囪的線段AB上，距煙囪A處2 km處的煙塵濃度最低.
19．解：（1）令m=n=1，即得f(1)=0；
（2）用定義證明：
取0＜x1＜x2，則t＞1，使得x2=tx1，
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(tx1)=f(x1)-\\=-f(t)，
由于當x＞1時，f(x)＞0，
則f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)；
（3）當f(2)=-12時，f(4)=f(2)+f(2)=-1，
不等式f(x2-3x)＞-1即f(x2-3x)＞f(4)
則x2-3x＜4x2-3x＞0
解得x∈(-1，0)∪(3，4).
20．解：（1）由當x∈(0，5)時，x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立，
令x=1得1≤f(1)≤1，
則f(1)=1
（2）∵f(x-1)=f(-x-1)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=-1對稱，
∴-b2a=-1，b=2a
又因為f(x)的最小值為0，即x=-1時y=0
所以a-b+c=0
由f(1)=1，得a+b+c=1，
∴b=12，a=14，c=14，
∴f(x)=14x2+12x+14=14(x+1)2
（3）假設存在t∈R，使得x∈\\，都有f(x+t)≤x.
取x=1有f(t+1)≤1，即14(t+2)2≤1，解得-4≤t≤0
對固定的t∈\\，取x=m，有f(t+m)≤m，
即14(t+m)2+12(t+m)+14≤m，
化簡有m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)≤0，
解得1-t--4t≤m≤1-t+-4t
于是有m≤1-t+-4t≤1-(-4)+-4(-4)=9.
當t=-4時，對任意的x∈\\，
恒有f(x-4)-x=14(x2-10x+9)=14(x-1)(x-9)≤0.
所以m的最大值為9
注：本題最好的解法是用圖象平移來做.
