模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集及其截集

摘要：模糊粗糙集理論模型的建立和發(fā)展是Pawlak粗糙集模型推廣的一個(gè)主要方向，該文在普通等價(jià)關(guān)系下的模糊粗糙集的基礎(chǔ)上，給出了模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集的表示方法，并提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似的表示方法及其性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：模糊相似關(guān)系；模糊粗糙集；截集

中圖分類號(hào)：TP311文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044(2009)04-0947-03

Fuzzy Similar Relational Fuzzy Rough Set and Level Set

XIAN Yan-xia

(College of Science， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430065， China)

Abstract: On the base of the ordinary equivalence relation of fuzzy rough set， has given the fuzzy rough set expression based on the fuzzy similar relation. This paper mainly proposes the level set of fuzzy rough set the lower and upper approximation based on the fuzzy similar relation. Moreover， the basic properties are also investigated.

Key words: the fuzzy similar relation; the fuzzy rough set; level set

1 引言

Z.Pawlak 于1982年提出了粗糙集（Rough Set）理論[1-2]，粗糙集在處理不確定性和不精確問(wèn)題方面推廣了經(jīng)典集合論，它是通過(guò)對(duì)象對(duì)于集合的隸屬程度來(lái)近似描述的。在粗糙集模型中，等價(jià)關(guān)系起著至關(guān)重要的作用，但是，對(duì)等價(jià)關(guān)系的要求也限制了粗糙集理論的應(yīng)用，因此許多學(xué)者從各方面對(duì)粗糙集理論進(jìn)行了推廣。Dubois和Prade[3]以及Nakamura[4]最先指出為了近似由隸屬函數(shù)定義的模糊集[5]，可以推廣以上、下近似的形式給出的粗糙集的思想，提出了模糊粗糙集。還有一些學(xué)者提出了模糊信息系統(tǒng)[2-5]，并提出了普通等價(jià)關(guān)系下的模糊粗糙集[6]。

在模糊集理論[7]中，模糊集的α截集是一個(gè)基本的概念，它建立了模糊集和清晰集之間的關(guān)系。

該文主要是基于模糊集和粗糙集的結(jié)合，給出了模糊相似關(guān)系下[8]的模糊粗糙集，并在此基礎(chǔ)上提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似的表示及其一些性質(zhì)。

2 模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集

設(shè)U為論域，U上的全體模糊集記為F(U)，R為U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，模糊集F∈F(U)關(guān)于等價(jià)關(guān)系R的下，上近似為U上的模糊集，其隸屬函數(shù)[9]為：

其中[x]R表示x所在的等價(jià)類，稱(RF，RF)為模糊粗糙集。

定義2.1設(shè)R是論域U上的二元模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為R(x，y)，若R滿足

1) 對(duì)于任意的x∈U，有R(x，y)=1，即R具有模糊自反性；

2) 對(duì)于任意的x∈U，有R(x，y)= R(y，x)，即R具有模糊對(duì)稱性；

則稱R為模糊相似關(guān)系。

根據(jù)Dubois和Prade定義的模糊粗糙集[10-12]，若用模糊相似關(guān)系代替上述模糊粗糙集中的等價(jià)關(guān)系，可以得到一個(gè)推廣的模糊粗糙集。

定義2.2設(shè)U為論域， R是論域U上的模糊相似關(guān)系，模糊集F∈F(U)關(guān)于R的下、上近似是U上的一對(duì)模糊集，其隸屬函數(shù)為：

其中表示y對(duì)x關(guān)于 的相似程度，[x]R表示x所在的模糊相似類。稱(RF，RF)為U上模糊相似關(guān)系下的模糊粗糙集。若RF，RF，則稱F為模糊相似可定義集。

容易驗(yàn)證，若R為U上的普通等價(jià)關(guān)系，(RF，RF)就退化為上述的等價(jià)關(guān)系下的模糊粗糙集。也可進(jìn)一步驗(yàn)證，當(dāng)R是U上的普通等價(jià)關(guān)系，F(xiàn)為U上的經(jīng)典集合時(shí)，F(xiàn)= (RF，RF)就退化為Pawlak意義下的粗糙集。

定理2.1設(shè)A為論域U上模糊相似關(guān)系R下的模糊粗糙集，則A的下近似RA和上近似RA具有以下性質(zhì)

證明：直接由定義可以得證。

由于R是論域U上的模糊相似關(guān)系，不滿足傳遞性，所以普通等價(jià)關(guān)系下的模糊粗糙集中的式子R(RA)=R(RA)=RA，R(RA)=R(RA)=RA不成立。

3 模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的下、上近似

設(shè)U為論域，U上的全體模糊集記為F(U)，對(duì)任意模糊集F∈F(U)以及λ∈[0，1]，F(xiàn)的λ-截集和強(qiáng)λ-截集的定義分別為：

有關(guān)模糊集的概念和性質(zhì)可參考[7]。

現(xiàn)設(shè)R是論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，F(xiàn)∈F(U)，λ∈[0，1]，按照[9]，F(xiàn)λ及FλS的下，上近似分別為：

其中[x]R表示x所在的等價(jià)類。

若用模糊相似關(guān)系代替等價(jià)關(guān)系，則Fλ及FλS的下，上近似分別定義為：

其中[x]R表示x所在的模糊相似類。

容易證明，若R是論域U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則Fλ及FλS的下，上近似（a）（b）（c）（d）就退化為普通等價(jià)關(guān)系下的Fλ及FλS的下，上近似。

定理3.1設(shè)U為論域， R是論域U上的模糊相似關(guān)系，A，B∈F(U)，λ∈[0，1]，則下面的式子成立

證明：只證(1)(2)(5)的前一個(gè)式子，其它的同理可證。

1)

又因Aλ，Bλ?哿P(U)，易知R(Aλ∪Bλ)?勐RAλ∪RBλ，故R(A∪B) λ?勐RAλ∪RBλ。

2)

又因Aλ，Bλ?哿P(U)，易知R(Aλ∪Bλ)=R(Aλ∪Bλ)=RAλ∪RBλ，故R(A∪B) λ=RAλ∪RBλ。

由于(~A)λ=~A1-λS，從而有R(~A)λ=R(~A1-λS)=~RA1-λS.

注：P(U)表示論域U上的全體經(jīng)典集。

定理3.2設(shè)U為論域，R為模糊相似關(guān)系，對(duì)任意A∈F(U)，有

證明：(1)對(duì)?坌x∈U，

從而有。

另一方面，

從而有。

對(duì)?坌x∈U，

從而有。

另一方面，

從而有。

由定理3.2可以立即得到下面的推論。

推論設(shè)U為論域，R為模糊相似關(guān)系，對(duì)A∈F(U)，H:[0，1]→P(U)為一個(gè)映射，并且對(duì)任意的λ∈[0，1]，恒有，則有

證明：因?yàn)閷?duì)任意的λ∈[0，1]，恒有AλS?奐H(λ)?奐Aλ，從而有

所以有。

另一方面，

所以有。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上，該文主要提出了模糊集的截集在模糊相似關(guān)系下的表示方法以及一些性質(zhì)。另外，如果考慮基于模糊集和模糊關(guān)系，在兩個(gè)論域上對(duì)粗糙集進(jìn)行推廣，可以得到模糊粗糙集的表達(dá)形式，它們的截集具有什么性質(zhì)呢？這些問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。

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咸艷霞（1979-），女，河南周口人，助教，武漢科技大學(xué)理學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系，研究方向：智能計(jì)算與不確定性信息處理。