“淺探二次函數(shù)中的三角形問題”教學(xué)實錄及教學(xué)反思

王清明

教學(xué)內(nèi)容：初三中考 “函數(shù)”復(fù)習(xí)課。

教學(xué)目標：

1.知識與技能目標：⑴會根據(jù)二次函數(shù)提供的信息，較快求出解析式、頂點坐標與坐標軸的交點坐標；⑵掌握在二次函數(shù)圖象中求出特殊三角形面積的方法；⑶能根據(jù)圖象中提供的信息正確地“讀解”圖象中更多的有效信息；⑷利用二次函數(shù)圖象中的三角形相似，或直線平移求出符合條件的直線與拋物線的交點坐標。

2.過程與方法目標：⑴通過對二次函數(shù)圖象的分析探討，體會到圖象中幾個特殊點的坐標在解決三角形問題中的重要性；⑵通過對二次函數(shù)圖象中三角形問題的探討，體會到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決函數(shù)問題中的重要性和優(yōu)越性。

3.情感態(tài)度和價值觀目標：⑴通過對二次函數(shù)中三角形問題的探討學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，構(gòu)建“數(shù)想形”“形思數(shù)”的數(shù)學(xué)思維方式和意識；⑵通過對具體數(shù)學(xué)問題的解法的探究，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會合作，從而形成團隊合作的精神。

教學(xué)重點：根據(jù)二次函數(shù)的圖象或解析式求出特殊三角形的面積；或利用三角形相似、全等，或通過平移等知識求出符合條件的直線與函數(shù)圖象的點的坐標。

教學(xué)難點：在二次函數(shù)圖象中，利用三角形相似或通過直線的平移，求出符合條件的直線與拋物線的公共點的坐標。

教學(xué)過程：

一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

師：同學(xué)們，請觀察圖1，你認為在這個圖象中，哪幾個點較為特殊？

生1：點A、點B、點C、點O、點D。

師：為什么這些點較特殊呢？

生1：這些點分別是坐標原點、二次函數(shù)圖象的頂點、以及圖象與坐標軸的交點。

師：將這些點作為三角形的頂點，可構(gòu)成哪些三角形？

生2：可構(gòu)成△ABC、△BCD、△ABD、△AOD、△BOD……（見圖2）

師：我們知道，三角形是最基本的幾何圖形，三角形問題也是最常見的數(shù)學(xué)問題，今天，我們就來探討二次函數(shù)中的三角形問題（多媒體出示課題）。

二、 問題精析，初步引探

師：首先，我想就剛才出示的這個二次函數(shù)的圖象提幾個問題，不知同學(xué)們有沒有信心來解決？

（學(xué)生齊聲回答：有！）。

師：請根據(jù)圖象中所提供的信息，說出A、B、C、D四點的坐標。

生2：這四點的坐標分別是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。

師：很不錯！完全正確。那現(xiàn)在請同學(xué)們求出△ABC的面積，并說出你是怎么進行計算的。

生3：△ABC的面積為：1/2?AB?CE =125/8。

師：答得非常好！

師：如果將問題改成求△BCD的面積，可以怎么進行求解？

（學(xué)生思考）。

師：（良久沒有學(xué)生回答）同學(xué)們可否由求△ABC的面積有所啟示？

生：……

生4：可將CD延長，與X軸交于G，然后用△GCB的面積減去△GDB的面積，就可得到△BCD的面積。

生5：我還有一種方法，設(shè)二次函數(shù)圖象的對稱軸與BD相交于F，分別求出△DFC與△BFC的面積，它們之和就是△BCD的面積。

生6：還可將BC延長，使之與Y軸交于點M，然后用△BDM的面積減去△DCM的面積即可。

（教師根據(jù)學(xué)生的講述在圖象上添加了相應(yīng)的字母。見圖3）

師：太棒了，能談?wù)勀氵@樣設(shè)想的原因嗎？

生6：構(gòu)造新的三角形，使其中一邊落在坐標軸上，這樣便于求出三角形的底邊和高，進而求出三角形的面積。

師：李于同學(xué)真棒，我相信很多同學(xué)都和他一樣，找到了在坐標系中求三角形面積的捷徑。

師：同學(xué)們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要這樣，要能積極思考，善于發(fā)現(xiàn)問題中題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系；在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。比如，這個問題到這里可以進行變式：就利用這個二次函數(shù)的圖象（此函數(shù)的解析式已求得為ｙ＝ｘ-3x²-4），在圖象上是否存在點Ｐ，使△ABP的面積為15，如若存在，求出點Ｐ的坐標；如不存在，則說明理由。

（教師將學(xué)生推向探究問題的邊緣）

（學(xué)生或自主探索，或交流討論……不久便有部分學(xué)生舉手）

生7：根據(jù)題意，已知ΔABP的面積為15，底邊AB=6，則邊上的高為6，而這個值實際上就是點Ｐ的縱坐標，再將它代入此二次函數(shù)的解析式中即可求出點Ｐ的坐標。

（老師微笑地點了點頭，沒有發(fā)表意見）

生8：我認為底邊上的高等于6，但這個值只是點到底邊的距離，也就是說，點P的縱坐標可以為±6。

師：你們認為他的分析是否有道理？

（不一會，很多同學(xué)對剛才這位同學(xué)的分析表示贊成，并有部分學(xué)生通過計算求出了P點的坐標。）

師：周明同學(xué)考慮得很全面，請同學(xué)們仔細觀察點Ｐ可能存在的幾個位置。

（教師利用幾何畫板制成的動畫演示點P的運動軌跡，△ABP的形狀也隨之發(fā)生變化。見圖4）

師：請同學(xué)們根據(jù)剛才的分析嘗試求出符合條件的點P坐標。

……

（教師利用多媒體展示了幾位學(xué)生完成的計算，并進行點評。）

三、問題變式 深入導(dǎo)探

師：剛才，我們研究的的問題實際上是二次函數(shù)中常見的三角形問題。大家對于二次函數(shù)圖象中的特殊三角形面積的計算有了初步認識，現(xiàn)在老師想就剛才的問題和大家進行更加深入的探討，同學(xué)們是否有興趣？

（多媒體出示問題——二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象如圖5所示：1.求此函數(shù)的解析式；2.過點A作AP∥BD，交此拋物線于點P，求出點P的坐標。）

……

學(xué)生紛紛進行探索，尋求解決問題的方案，或獨立思考，或相互交流。

生9：這個函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標都可直接看出來，分別為：A（-1，0）、B（4，0）、D（0，-4），和前面的問題一樣，可求得解析式也為ｙ＝x²-3ｘ-4。

師：不錯，此問題的第一問可用待定系數(shù)法求得，也為ｙ＝x²-3ｘ-4，那點P的坐標有沒有求出？

生：還沒有。

師：請大家注意第二問中提供給我們的已知條件：AP∥BD，再結(jié)合前面我們已探討過的問題，會有什么啟示？

（學(xué)生進入思考狀態(tài)，并開始了短時間的討論）

（過了幾分鐘，部分同學(xué)似乎有了解決的方法，教師請同學(xué)發(fā)表看法。）

生10：由AP∥BD可得到∠DBA=∠BAP，設(shè)AP與y軸交于點M，又有∠AMO=∠BDO，可得到△BOD∽△AOM。（圖6）

生11：因為點B和點D的坐標分別為（4，0）和（0，-4），所以BO=DO=4，又△BOD∽△AOM，所以AO=MO=1，這樣就可以求出直線AP的解析式。

（老師讓這些同學(xué)分別發(fā)表自己的看法，用贊賞的眼光看著他們，微笑著點點頭，期待其他同學(xué)能有更多的更具體的解決問題的方案。）

生12：點P是直線AP與拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4的交點，那么通過求出直線AP的解析式與ｙ＝x²-3ｘ-4組成的方程組的解便可得出點P的坐標。

師：不錯，劉強同學(xué)能結(jié)合前面同學(xué)的想法，并聯(lián)系前面學(xué)習(xí)過的知識，這種方法能較快地求出點P的坐標。還有沒有不同方法？

（學(xué)生又進入短時間的探討、交流）

生13：我認為，不需要證明△BOD∽△AOM，因為AP∥BD，所以直線AP可由直線BD平移得到，只要求出直線BD的解析式和MD的長度，能較容易求出直線AP的解析式。

師：很好，這種方法很新穎。

又有一位同學(xué)舉手，并直接站了起來：“我還有一種方法?！苯處熓疽馑v出他的方法。

生14：可以過點P向X軸作垂線，與x軸交于點N，（教師按學(xué)生所講作出垂線。見圖6）則有PN=AN ……

師：（教師示意這名學(xué)生停一下）你能說說為什么會有PN=AN？

生14：我也是由剛才這種方法聯(lián)想到的，因為PN∥MO，會有△AOM∽△ANP，由OA=OM=1，所以有AN=PN，又PN是點P的縱坐標，ON是點P的橫坐標，則PN=ON+1，設(shè)點P的坐標為（x,y），有y=x+1，又點P在拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4上，利用這兩個關(guān)系式可求出點P坐標。

教師帶頭鼓掌，這位同學(xué)很高興地坐了下去。

……

師：根據(jù)剛才這些同學(xué)的分析，請大家選用適當?shù)姆椒?，嘗試求出點P的坐標。

四、延伸拓展 導(dǎo)練提高

師：接下來，我想讓大家沖刺一下往年的中考壓軸題,看看今天所學(xué)的知識能否用得上。同學(xué)們有沒有信心?

生:有……

(多媒體出示由2005年長沙市中考壓軸題改編的試題）已知：拋物線y=1/3x²-2/3x-1與X軸交于A、B兩點,A(x₁,0)、B(x₂,0)，且x₁﹤x₂，與Y軸交于點C（圖7）。

1.若⊙M為△ABC的外接圓，則△MBC是

三角形；

A.等邊三角形 B.等腰直角三角形

2.由⑴可求得⊙M的半徑為 ；

3.過點A作直線AP平行于BC，與拋物線交于點P，可得點P的坐標為，以A、B、P為頂點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由。

學(xué)生嘗試解答……

最后,師生合作探討,完成解答……

五：學(xué)習(xí)導(dǎo)結(jié)，認識提升

師：通過以上探究活動，你認為這節(jié)課有哪些收獲？有什么體會？對今后的學(xué)習(xí)有什么幫助？

教師針對學(xué)生的發(fā)言進行點評并適當鼓勵。歸納總結(jié)。

六、作業(yè)

根據(jù)最后一個問題，自行改編，提出一個新問題，并解答出來。

教學(xué)反思

“二次函數(shù)”和“三角形”都是初中數(shù)學(xué)的重要知識，將兩者結(jié)合在一起進行探討，則是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一個質(zhì)的提升。將多個知識點融合在一起，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，這是對學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，也成了中考綜合解答題的出題方向。本節(jié)課，我對教學(xué)內(nèi)容進行了創(chuàng)造性增補和整理，也意在培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。下面就這節(jié)課的某些特點作如下評析：

創(chuàng)設(shè)平臺，誘導(dǎo)學(xué)生自主探究與合作交流

《數(shù)學(xué)課程標準》中明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！币虼耍诒竟?jié)課中，我對教材進行創(chuàng)造性安排，創(chuàng)設(shè)了一組變式題，為學(xué)生創(chuàng)造了充分的數(shù)學(xué)活動機會和平臺，但這些“果實”并不是讓學(xué)生垂手而得，而是需要思考，需積極參與，在自主探索與合作交流中，去理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法。本節(jié)課的每個環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了互動性特點，給學(xué)生自由學(xué)習(xí)的時間和空間，從而使學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，也培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

精選例題，變式深入，注重數(shù)學(xué)方法的歸納

在本節(jié)課的教學(xué)中，由一個簡單問題入手，通過一步步的變式，層層深入， 讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的歸納、綜合、發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會觀察、猜想、驗證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。讓學(xué)生快速地“讀解”函數(shù)圖象中的有效信息，更好地理解函數(shù)解析式與其圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握在函數(shù)圖象中如何求解三角形的面積，利用平移的方法求函數(shù)解析式以及運用三角形相似等方法求得特殊點的坐標，以發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。到問題變式的最后，引出了經(jīng)過改編的往屆中考題，讓學(xué)生再一次體會到：其實“難題”也是由一些簡單知識點積淀而成,并不是那么高不可攀。這對學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成有著重要的促進作用，對學(xué)生的終身發(fā)展也有積極影響。

充分發(fā)揮多媒體的輔助功能，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維

為突出重點、突破難點，使學(xué)生真正達到本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標，在例題變式探究過程中，我巧妙運用多媒體進行動畫演示，讓學(xué)生從幾何畫板的動畫演示中，體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展變化的過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了提出問題、解決問題的探究情境。誘導(dǎo)學(xué)生進行自主探索、大膽猜測、合作交流等數(shù)學(xué)活動，鼓勵他們發(fā)表自己的見解，同時，為學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律營造了良好的氛圍，并激發(fā)他們的創(chuàng)新思維。

依托變式，啟迪思維

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識和習(xí)慣，注重學(xué)生的個體差異，靈活運用多種教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在實踐中學(xué)會學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在探求中運用已發(fā)現(xiàn)的規(guī)律試一試，讓學(xué)生在問題探討中各抒已見、開展討論，對學(xué)生中出現(xiàn)的一些有創(chuàng)見的解法及時加以肯定，整個過程，讓學(xué)生充當“演員”，這樣的過程，是思想自由的過程。本節(jié)課中，我通過一系列的變式題組的設(shè)計，給學(xué)生創(chuàng)造了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的“階梯”，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個動眼、動手、動腦的空間和交流探討的平臺。讓他們始終以探索者、研究者的身份出現(xiàn)，學(xué)生通過自己的感知學(xué)習(xí)、感受學(xué)習(xí)，最終達到感悟?qū)W習(xí)的目的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力得以質(zhì)的提升，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更具價值。

（責(zé)任編輯：黃佑生）