動(dòng)量定理在電磁感應(yīng)中的妙用

吝友安

電磁感應(yīng)問題往往涉及牛頓定律、動(dòng)量守恒、能量守恒、電路的分析和計(jì)算等許多方面的物理知識(shí),使力學(xué)和電磁學(xué)的綜合性極強(qiáng),能夠很好地考查學(xué)生綜合應(yīng)用物理知識(shí)解題的能力,因而成為高考考查的重點(diǎn)。在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中常會(huì)遇到被研究對(duì)象在安培力作用下做一般的變速運(yùn)動(dòng),特別是當(dāng)安培力變化,且涉及位移、速度、電荷量等問題時(shí),學(xué)生總感到無從下手。此時(shí),用動(dòng)量定理求解往往能收到出奇制勝的效果。下面舉幾例加以說明。

例1 如圖1所示,金屬棒AB的質(zhì)量m,放置在寬L,光滑的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌上,兩金屬導(dǎo)軌處于水平面內(nèi),該處有豎直向下磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電容器的電容為C,電源的電動(dòng)勢(shì)為E,在電鍵K與“1”接通并穩(wěn)定后,再使它與“2”接通,則求在以后的過程中通過金屬AB的電量。

解析 當(dāng)K由“1”扳向“2”時(shí),電容器通過AB棒放電,產(chǎn)生放電電流,AB棒在磁場(chǎng)力作用下做變加速運(yùn)動(dòng),同時(shí)AB棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì),該電動(dòng)勢(shì)是阻礙電容器放電的,電容器上的電荷不會(huì)放完。當(dāng)AB棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)ε與電容器剩余電壓U相等時(shí),電路處于穩(wěn)定狀態(tài),AB棒勻速運(yùn)動(dòng)。

解 設(shè)穩(wěn)定時(shí)電容器兩端電壓為U,AB棒運(yùn)動(dòng)的速度為v,則U=ε。即U=BLv ,v=U/BL。對(duì)AB棒用動(dòng)量定理得BILΔt=mv ①。而Q=IΔt=mv/BL=mU/B2L2②。又EC-UC=Q ③。聯(lián)立②③得Q=mEC/(B2L2C+m)。

例2 如圖2所示,豎直放置的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌,置于垂直于導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩根質(zhì)量相同的導(dǎo)體棒a和b,與導(dǎo)軌緊密接觸且可自由滑動(dòng)。先固定a,釋放b,當(dāng)b的速度達(dá)到10 m/s時(shí),再釋放a,經(jīng)過1 s后,a的速度達(dá)到12 m/s,則:1)此時(shí)b的速度大小是多少?2)若導(dǎo)軌很長(zhǎng),求a、b棒最后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

解 1)當(dāng)b棒先向下運(yùn)動(dòng)時(shí),在a和b以及導(dǎo)軌所組成的閉合回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,于是a棒受到向下的安培力,b棒受到向上的安培力,且二者大小相等。釋放a棒后,經(jīng)過時(shí)間t,分別以a和b為研究對(duì)象,根據(jù)動(dòng)量定律,則有:(mg+F)t=mva;(mg-F)t=mvb-mv0。代入數(shù)據(jù)可解得vb=18 m/s。

2)在a、b棒向下運(yùn)動(dòng)的過程中,a棒產(chǎn)生的加速度a1=g+F/m,b棒產(chǎn)生的加速度a2=g-F/m。當(dāng)a棒的速度與b棒接近時(shí),閉合回路中的Δφ逐漸減小,感應(yīng)電流也逐漸減小,則安培力也逐漸減小。最后,兩棒以共同的速度向下做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)。

例3 如圖3所示,水平光滑的平行金屬導(dǎo)軌,左端接有電阻R,勻強(qiáng)磁場(chǎng)B豎直向下分布在導(dǎo)軌所在的空間內(nèi),質(zhì)量一定的金屬棒PQ垂直導(dǎo)軌放置。今使棒以一定的初速v0向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)其通過位置a、b時(shí),速率分別是vavb,到位置c時(shí)棒剛好停止。設(shè)導(dǎo)軌與棒的電阻均不計(jì),a、b與b、c的間距相等,則金屬棒在由a→b和b→c的2個(gè)過程中( )

A 棒運(yùn)動(dòng)的加速度相等B 通過棒截面的電荷量相等C 回路中產(chǎn)生的電能Eab=3EbcD 棒通過a、b兩位置時(shí),va>2vb

解析 設(shè)棒的長(zhǎng)度為l,從a運(yùn)動(dòng)至b的過程中,t時(shí)刻棒的速度為v,a=F安/m=B2l2v/Rm,因v減小,所以加速度a減小,流過棒的電流為I=Blv/R,電荷量Q=φ/R=Blab/R=Blbc/R,B選項(xiàng)正確。t到t+Δt時(shí)間內(nèi),棒所受沖量為-BIlΔt。對(duì)棒在上述過程中,由動(dòng)量定理有-BIlΔt=-(B2l2/R)V·Δt=mvb-mva。式中vΔt正是棒由a到b的位移ab,所以有B2l2ab/R=mva-mvb。對(duì)棒由b到c,同理有B2l2bc/R=mvb,因ab=bc,聯(lián)立可得va=2vb。由能量關(guān)系,棒從a到b的過程中產(chǎn)生的電能Eab=mv2-mv2,棒從b到c的過程中產(chǎn)生的電能Ebc=mv2。將va=2vb代入可得Eab=3Ebc,所以BC正確。

從以上分析可以看出,電磁感應(yīng)問題中,力學(xué)、電學(xué)聯(lián)系非常緊密,綜合性極強(qiáng),解決這類問題的關(guān)鍵是要認(rèn)真分析物體的運(yùn)動(dòng)過程、受力情況。妙用動(dòng)量定理可柳暗花明,問題迎刃而解。

(作者單位:陜西省渭南市杜橋中學(xué))