一類含Hardy-Leray勢(shì)的分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程解的單調(diào)性和對(duì)稱性

蔣艷琳, 沃維豐

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 浙江 寧波 315000)

1.引言

本文主要研究含Hardy-Leray勢(shì)的分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程

其中sp < r < n,0< s <1,p >2,(?Δ)是分?jǐn)?shù)階p-Laplacian算子, 這個(gè)非局部算子的定義為：

這里的PV代表柯西原理值,Cn,sp是一個(gè)依賴于n,s,p的正常數(shù).為使積分有意義, 本文要求u(x)

當(dāng)p=2,r=2s時(shí), 方程(1.1)為

Barrios等[1]證明了方程(1.2)在有界域上正解的單調(diào)性和對(duì)稱性.HU[2]運(yùn)用了完全不同的方法證明了此方程在有界域上正解的單調(diào)性和對(duì)稱性.此外, 近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)含Hardy-Leray勢(shì)的橢圓型方程解的存在性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及漸近性行為也取得了許多研究成果[3?6].

由于分?jǐn)?shù)階Laplacian算子的非局部性, 對(duì)它們研究存在困難.為了解決此問(wèn)題, Caffarelli和Silvestre采用了將非局部問(wèn)題簡(jiǎn)化為更高維的局部問(wèn)題的方法[7].另一個(gè)方法則是積分方程法[8?10], 即在建立了分?jǐn)?shù)階方程與積分方程的等價(jià)性后, 采用積分形式的移動(dòng)平面法,得到分?jǐn)?shù)階方程解的對(duì)稱性.但運(yùn)用上述方法, 對(duì)研究分?jǐn)?shù)階p-Laplacian是不起作用的, 因此CHEN等采用了直接的移動(dòng)平面法, 建立了關(guān)于分?jǐn)?shù)階Laplacian的極值原理、窄域原理以及無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減定理[11], 使得不經(jīng)過(guò)空間延拓和積分方程的方法就可以研究各種非局部問(wèn)題正解的單調(diào)性和對(duì)稱性等.之后, 在文[12]中他們研究了關(guān)于分?jǐn)?shù)階p-Laplacian算子的極值原理和邊界估計(jì), 并得到了方程

在單位球和全空間上正解的單調(diào)性和對(duì)稱性.后來(lái), 許多學(xué)者應(yīng)用了他們的方法研究了其他問(wèn)題解的單調(diào)性、對(duì)稱性和不存在性等[13?18].

其中, 文[15]中定理1.1證明了關(guān)于分?jǐn)?shù)階p-Laplacian問(wèn)題的窄域原理.文[16]研究了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程的衰減定理, 并推廣了(1.3), 得到了方程(?Δ)(x) =f(x,u,?u)在有界域和全空間上正解的單調(diào)性和對(duì)稱性.

本文基于相關(guān)研究結(jié)果, 運(yùn)用直接的移動(dòng)平面法, 依托窄域原理、無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減定理和邊界估計(jì), 通過(guò)在給定方向上移動(dòng)平面至極限位置, 比較方程在兩個(gè)不同點(diǎn)上解的值, 研究了方程(1.1)正解的單調(diào)性和對(duì)稱性.

2.準(zhǔn)備工作

本節(jié)介紹一些文中用到的相關(guān)定義、假設(shè)和引理.

首先, 引入一些定義、記號(hào)和假設(shè).令x=(x1,x2··· ,xn)=(x1,x′).定義

Tλ={x ∈Rn|x1=λ,λ ∈R}

是Rn上的一個(gè)超平面, 并且

Σλ={x ∈Rn|x1<λ}

是超平面Tλ左邊的區(qū)域.設(shè)

xλ=(2λ ?x1,x′),

0λ表示原點(diǎn)0關(guān)于Tλ的對(duì)稱點(diǎn).Ci(i ∈N)表示一致常數(shù).令u(xλ)=uλ(x),為了比較u(x)與uλ(x)的值, 定義

wλ(x)=uλ(x)?u(x).

在本文的定理中,對(duì)于f(x,u),g(u)有以下三個(gè)條件：

(h1)f(x,u)和g(u)是關(guān)于u局部Lipschitz連續(xù)的, 且g(u)是非負(fù)函數(shù);

(h2) 當(dāng)λ<0,x ∈Σλ, 且u ∈[0,∞)時(shí),f(x,u)≤f(xλ,u);

(h3) 當(dāng)λ=0,x ∈Σλ, 且u ∈[0,∞)時(shí),f(x,u)=f(xλ,u).

下面將介紹本文所需的引理.

引理2.1[1](窄域原理) 設(shè)Ωλ是Σλ內(nèi)的有界狹窄區(qū)域, 且包含在{x|λ ?β < x1< λ}中,β是常數(shù).假設(shè)u(x), 且wλ(x)是上的下半連續(xù)函數(shù), 滿足

其中c(x)在Ωλ中一致下有界.

若存在一個(gè)點(diǎn)y0∈Ωλ, 使得wλ(y0)>0, 則對(duì)于足夠小的β, 有

wλ(x)≥0,x ∈Ωλ.

進(jìn)一步, 若對(duì)于Ωλ中的某個(gè)點(diǎn)y′, 使得wλ(y′)=0, 則

wλ(x)≡0,x ∈Rn.

對(duì)于一個(gè)無(wú)界區(qū)域, 如果進(jìn)一步假設(shè)：

那么上述結(jié)論依然成立.

引理2.2[4](無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減定理) 設(shè)Ω是Σλ中的無(wú)界區(qū)域,u(x)且wλ(x)是上的下半連續(xù)函數(shù), 滿足

其中

這里的m是正常數(shù).若

則存在一個(gè)正常數(shù)R0(依賴于c(x)和C0), 使得如果wλ(x0)=<0, 那么

引理2.3[12](邊界估計(jì)) 設(shè)wλ0(x)>0,?x ∈Σλ0.對(duì)于序列{λk}和{xk}, 若λk ↘λ0, 并且xk ∈Σλk, 使得

令δk=dist{xk,?Σλk}≡|λk ?, 那么

3.主要結(jié)論

定理3.1Ω是Rn上包含原點(diǎn)的有界開(kāi)區(qū)域, 在x1方向上是凸的, 且關(guān)于T0={x ∈Rn|x1=0}對(duì)稱.設(shè)u(x)是方程

的正解, 若f(x,u),g(u)滿足條件(h1),(h2), 則有

且當(dāng)x1<0時(shí),u(x)是關(guān)于x1嚴(yán)格單調(diào)遞增的.若f(x,u)進(jìn)一步滿足條件(h3), 那么u(x)是關(guān)于T0對(duì)稱的, 即u(x1,x′)=u(?x1,x′).

定理3.2設(shè)u(x)是方程的正解, 并滿足條件(2.1), 其中若f滿足

且當(dāng)x1<0時(shí),u(x)是關(guān)于x1嚴(yán)格單調(diào)遞增的.若f(x,u)進(jìn)一步滿足條件(h3), 那么u(x)是關(guān)于T0對(duì)稱的.

在第四節(jié)和第五節(jié)將給出定理3.1與定理3.2的證明.

4.定理3.1的證明

證定義Hλ=Σλ ∩Ω.不妨假設(shè)證明分為以下兩步.

步1 讓?duì)顺浞纸咏?a, 即存在足夠小的δ(0< δ < β), 使得λ ∈(?a,?a+δ], 且0λ不在Hλ中, 則可以得到

令

故

與此同時(shí), 對(duì)于任意的y ∈Σλ,∈Σλ, 有

其中ζ(y)介于y與yλ之間, 因此根據(jù)引理2.1的證明可知存在正常數(shù)C3, 使得

對(duì)于I2,

其中ξ(y)介于t1和t4之間,η(y)介于t2和t3之間.結(jié)合(4.2), (4.5)與(4.6), 有

假設(shè)f(x,u)和g(u)滿足條件(h1),(h2), 則存在正常數(shù)C4,C5, 使得對(duì)于任意的x ∈Hλ, 有

令

則對(duì)于x ∈Hλ,c(x)是有界的, 故

再由(4.9), 可得

結(jié)合(4.7)和(4.11)可知, 當(dāng)δ足夠小時(shí), 有

這與(4.10)矛盾, 故(4.1)成立, 因此

可以證明

若(4.12)不成立, 則λ0<0.事實(shí)上, 首先可以證明

但是, 由(4.8)可知

這與(4.14)矛盾, 則(4.13)成立.

由λ0的定義可知, 存在序列{λk}和{xk}, 有0≥λk ↘λ0, 并且xk ∈Hλk{0λk}, 使得

因?yàn)閨xk|是有界的, 所以對(duì)于{xk}的子列(仍記為{xk}), 存在x0使得xk →x0.由(4.15)可知wλ0(x0)≤0, 則

于是, 當(dāng)k →∞時(shí), 有

因此, 根據(jù)(4.8),(4.9)和(4.16)可知, 當(dāng)k →∞時(shí),δk →0, 有

這與引理2.3矛盾, 故(4.12)成立, 于是

再根據(jù)(4.13)的證明可知, 當(dāng)x1<0時(shí),u(x)是關(guān)于x1嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

若f(x,u)進(jìn)一步滿足條件(h3), 則可以證明u(x)在x1方向上是關(guān)于T0對(duì)稱的.事實(shí)上, 根據(jù)以上的證明可知

再由(h3)的假設(shè),則(x1,x′):=u(?x1,x′)也是問(wèn)題(3.1)的解,故(x1,x′)≤(?x1,x′),x1<0,即

結(jié)合(4.17)和(4.18)有

至此, 定理3.1證畢.

5.定理3.2的證明

證證明分為以下兩步.

步1 證明存在一個(gè)常數(shù)R0>0, 使得對(duì)于λ

假設(shè)f(x,u)和g(u)滿足條件(h1),(h2), 根據(jù)(4.10)的證明, 有

則條件(2.2)成立.因此根據(jù)引理2.2可知, 存在常數(shù)R0>0, 使得|?x| ≤R0, 對(duì)于λ ≤?R0,有(5.1)成立, 即

可以證明

否則, 對(duì)于λ0<0, 首先根據(jù)(4.13)的證明(這里的x所在區(qū)域與其不同, 但證明思路相同,故過(guò)程省略), 可得

由λ0的定義可知, 存在序列{λk}和{xk},有0≥λk ↘λ0, 并且xk ∈(Σλ0{0λ0})∩BR0(0),使得

因?yàn)閨xk|

于是, 當(dāng)k →∞時(shí),δk →0, 有

這與引理2.3矛盾.故(5.2)成立, 于是

再根據(jù)(4.13)的證明可知, 當(dāng)x1<0時(shí),u(x)是關(guān)于x1嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

若f(x,u)進(jìn)一步滿足條件(h3), 根據(jù)(4.19)的證明, 可以得到u(x)在x1方向上是關(guān)于T0對(duì)稱的.至此定理3.2證畢.