如何學(xué)好絕對(duì)值

絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，為幫助同學(xué)們學(xué)好這一內(nèi)容，現(xiàn)將學(xué)習(xí)要求歸納為以下幾個(gè)方面：

一、要正確理解絕對(duì)值的意義

數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|.求一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值，就是求它到原點(diǎn)的距離.因?yàn)榫嚯x不可能是負(fù)數(shù)，所以任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即對(duì)于有理數(shù)a，a≥0.絕對(duì)值的意義從數(shù)軸上看更是一目了然.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：當(dāng)a＞0時(shí)，a=a；當(dāng)a

=0時(shí)，a=0；當(dāng)a＜0時(shí)，a=-a.

二、要熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)

1.任何一個(gè)有理數(shù)都有惟一的絕對(duì)值，且是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即a≥0.

2. 最小的絕對(duì)值是0，但沒有最大的絕對(duì)值.

3.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0，即若a=a，則a≥0.

4.絕對(duì)值為某一正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

5. 若幾個(gè)數(shù)（或代數(shù)式）的絕對(duì)值之和為0，則每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都為0，即每個(gè)數(shù)都為0.例如，若a+ b+c

=0，則a=0， b=0，c=0，從而有a=b=c=0.

6.若a＞0，則＝＝１；若a

＜0，則＝＝－１.

三、要靈活運(yùn)用絕對(duì)值的知識(shí)

1.利用絕對(duì)值來理解相反數(shù)的意義

從絕對(duì)值的角度來看，絕對(duì)值相等的兩個(gè)不同的數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)為0.結(jié)合絕對(duì)值，我們可以更深刻地理解相反數(shù)的含義：位于原點(diǎn)的兩旁，并且絕對(duì)值相等.兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，其絕對(duì)值必相等；若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么，這兩個(gè)數(shù)有兩種情況：相等或互為相反數(shù).

例1判斷正誤：離開原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長度的點(diǎn)應(yīng)有兩個(gè)，分別在原點(diǎn)的左右兩邊，表示的數(shù)為-4和4.

（）

答：√.

2.利用絕對(duì)值的性質(zhì)解決問題

例2（2007年佛山市中考試題）如圖1，M，N，P，R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是原點(diǎn)，并且MN=NP=PR=1.數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在M與N之間，數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在P與R之間，若a＋ b＝３，則原點(diǎn)是（）.

A.M或RB.N或P

C.M或ND.P或R

分析：解決本題的關(guān)鍵是先分類，再運(yùn)用絕對(duì)值概念去掉絕對(duì)值符號(hào)來判斷.由于M，N，P，R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并且MN=NP=PR

=1，若Ｍ為原點(diǎn)，此時(shí)ａ、ｂ都是正數(shù)，則a+ b= ａ+ｂ，其值可能為3；若Ｎ為原點(diǎn)，此時(shí)ａ為負(fù)數(shù)，ｂ為正數(shù)，則a+ b= -ａ+ｂ，其值不可能為3；若Ｐ為原點(diǎn)，此時(shí)ａ為負(fù)數(shù)，ｂ為正數(shù)，則a+ b= -ａ+ｂ，其值也不可能為3；若Ｒ為原點(diǎn)，此時(shí)ａ、ｂ均為負(fù)數(shù)，則a+ b= -ａ+（-ｂ），其值可能為3.因此，選Ａ.

例3（哈爾濱市中考試題）若x的相反數(shù)是3，y=5，則x+y的值為（）.

A.-8B.2C.8或-2D.-8或2

分析：由相反數(shù)和絕對(duì)值的概念可知，x=-3，y=5或y=-5.因此，要分類求解：當(dāng)x=-3，y=5時(shí)，x+y=-3+5=2；當(dāng)x=-3，y=-5時(shí)，x+y=-3+（-5）=-8.應(yīng)選D.

例4（“迎春杯”初一數(shù)學(xué)競賽題）若a=1， b=2，c=3，且a＞b

＞c，則（a+b-c）２＝.

分析：由a=1， b=2，c=3，得a=±1，b=±2，c=±3.因?yàn)閍＞b＞c，所以a=1，b=-2，c=-3或a=-1，b=-2，c=-3.因此a+b-c=2或0，即（a+b-c）2=4或0.

3.利用絕對(duì)值的知識(shí)進(jìn)行探索

例5已知x-1=2，求x的值.

分析：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值.求一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值，就是求它到原點(diǎn)的距離.因此求滿足x-1=2的x的值，就是求到1的距離等于2的x的值，由圖2知，這樣的x有兩個(gè)，它們分別是x=3和x=-1.

例6設(shè)a＜b＜c，那么y=x-a

+x-b+x-c的最小值是.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義及題設(shè)，在數(shù)軸上作出數(shù)a，b，c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B、C，如圖3.數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)的距離之和不可能小于AC的長，僅當(dāng)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與B重合時(shí)，y取得最小值A(chǔ)C，AC=c-a=c-a，即y最小值=c-a .