物理學科中的對稱美及其教學

摘要：物理科學中存在著對稱美，追求物理科學中的對稱美是物理學的研究方法之一。本文指出了在物理學科中存在著的幾種對稱美；在求解物理問題過程中所使用的幾種對稱性方法；以及在物理教學中如何培養(yǎng)與訓練學生物理對稱美思維能力的幾種途徑。

關鍵詞：對稱美；對稱性方法；對稱美思維能力；無限網絡對稱法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)12(S)-0027-3

眾所周知，物理科學中存在著美，物理科學活動與審美活動有著密切的聯(lián)系。科學史學家?guī)於髟f過：“美的概念在核對結果和發(fā)現(xiàn)新規(guī)律中被證明是非常寶貴的。”［1］例如，愛因斯坦提出的科學思想，有許多就是出于美學而不是出于邏輯的考慮，物理學家霍夫曼就曾這樣來評價：“愛因斯坦的方法，雖然以淵博的物理學知識為基礎，但是本質上是美的、直覺的?！保?］

1 物理學科中的對稱美

對稱美是自然界廣泛存在的一種美，它顯示出物質世界的和諧、優(yōu)美和均衡。悠悠萬物中所表現(xiàn)出來的空間對稱性、時間對稱性、與時空無關的更復雜的對稱性等，無一不給人以美感，是一個能愉悅人身心的可感現(xiàn)象。作為研究物質世界最基本運動、結構及其規(guī)律性的物理學科，由于它是借助于一系列概念、規(guī)律及判斷和推理表達出來的，經過實踐檢驗或邏輯證明的系統(tǒng)知識，自然會滲透著對稱性，存在著對稱美。例如，麥克斯韋方程組不但以完美而對稱的形式描述了電磁場的普遍運動規(guī)律，奠定了電磁運動理論，而且又使科學家通過該方程組，以獨具特色的方式體驗到了美的深刻涵義，以致被勞厄稱為“美學上真正完美的對稱形式?！保?］

1.1 物理模型的對稱美

物理模型常常具有對稱美，它在空間也常常呈現(xiàn)對稱分布。例如，對于一個均勻球體，它相對于中心呈對稱分布，所以，其球心就是它的重心。也就是說，當它與別的物體吸引時，球心就是引力中心；若球體均勻帶電，則研究球外空間的電場分布時，可將全部電荷都集中在球心來處理。一個帶電的導體球，電荷在球面上分布處處相同，這正是導體球具有對稱美的結果。

1.2 運動的對稱美

運動的對稱美一般體現(xiàn)在運動的空間軌跡和運動參量隨時間變化的函數(shù)圖像上。例如，一個質點在豎直上拋運動的上升和下落階段，若設質點在t0時刻到達最高點H0。顯然，從時間、空間上說，質點的速度大小、加速度大小、動量大小、動能等都分別關于t0和H0對稱。又如，物體沿光滑斜面的上滑和下滑階段，關于最高點對稱；斜上拋運動和小球沿光滑圓軌道內側的運動，關于過其最高點的豎直線對稱；簡諧運動也是關于其平衡位置對稱，等等。

1.3 電路的對稱美

電路中既有場的問題也有實物的問題，其中存在的對稱美亦很多。例如，直流電路中的對稱美具體表現(xiàn)在：以電流的流向為軸，各對稱支路的電壓相等；電流橫向各對稱點的電勢相等，由于這些對稱點間沒有電勢差，則可以將各對稱點短接或開路，均不會對原電路產生影響。

1.4 光路的對稱美

光是一種電磁波，具有場的性質；它又是一種粒子——光子。在幾何光學中，由于各種物質實體的存在，光路又會表現(xiàn)出實物的性質，具有實物的對稱之美，這尤其在平面鏡成像中得到了充分的體現(xiàn)。

2 物理學科中的對稱性方法

對稱美為物理學的研究提供了方法論的原則，許多物理學家正是通過對稱美這一方法論原則，做出了重大發(fā)現(xiàn)。狄拉克常說：“一種正確的理論應該是美的”。他正是運用對稱原理預言了正電子的存在。物理科學研究中的對稱性方法通常分為四種：形象對稱法、對稱添補法、對稱平衡法和數(shù)學對稱法（變換不變性方法）［4］。最初電動力學中靜電力、靜磁力的平方反比定律公式的建立就是運用形象對稱法追求與萬有引力定律的平方反比公式相“對稱”而得來的；德布羅意運用對稱添補法，預言了物質波的存在；愛因斯坦運用對稱平衡法創(chuàng)立了狹義相對論；洛倫茲變換的不變性導致了統(tǒng)計力學和量子力學，也是運用數(shù)學對稱法的結果。

物理教學活動從一定層面上來說是師生共同尋求美、挖掘美，進而創(chuàng)造美的過程。通過找出問題的對稱性，運用問題的對稱性去思考問題，從對稱性的角度去剖析問題的物理實質，從而在分析和解決問題時，抓住問題的“突破口”，這種求解物理問題的方法叫對稱法。

運用對稱法求解物理問題，可以使復雜的問題簡單化，化難為易，化繁為簡；還可以得到一些簡潔解法而免去一些繁雜的數(shù)學計算，并使問題的物理實質得以更清楚的呈現(xiàn)。

物理問題中的對稱美有時呈顯性狀態(tài)，有時呈隱性狀態(tài)。按照物理問題中對稱美的顯性狀態(tài)由強到弱，常見的物理問題求解的對稱方法大致可分為直接求解法、鏡像法、無限網絡對稱法、割補法等。

2.1 直接求解法

當一個物理問題具有非常明顯的對稱性時，根據(jù)其相互對稱的部分具有某些對應和相同的特征的特點，一旦確定了它的某一部分的特征，就可直接推知其對稱部分的特征。這種根據(jù)物理問題的明顯對稱性直接得出問題的結論或解決問題途徑的方法就叫直接求解法。這種方法一般適用于具有物理模型的對稱美，特別是一個形體它的各部分在空間上具有對稱美的物理問題。

2.2 鏡像法

當物理問題具有關于面或球等對稱性時，可以用鏡像法求解。

鏡像法來自平面鏡或球面鏡成像，像與物關于鏡面對稱。力學、聲學、電學中的物理問題具有上述對稱性時，也可以用該法求解。

2.3 無限網絡對稱法

無限與有限，是一對矛盾的兩個方面，但在一定條件下，無限與有限可互相轉化，等效替代。無限網絡具有對稱性，增加或去掉一個網絡對問題的求解沒有影響。在運用無限網絡對稱法求解問題時，一者可以把無限網絡轉為有限網絡；二者可從無限網絡中直接找出某些物理量之間的關系。

2.4 等電勢點斷、接法

電路中的等電勢點之間可以直接相連或者可以把其間的任何電阻或導線去掉，這就是等電勢點斷、接法。

2.5 割補法

在解決物理問題時，常?？梢詫⒀芯繉ο蠹坝嘘P的物理量、物理過程和圖像等，通過宏觀分割或者填補進行拓補變化，使非對稱性問題變?yōu)閷ΨQ性問題，創(chuàng)造出對稱美，使復雜結構變?yōu)閱我唤Y構，使隱含的條件和關系充分暴露，這種處理問題和解決問題的方法叫做割補法。

3 物理對稱美思維能力的培養(yǎng)與訓練

物理對稱美思維能力是指能充分認識、了解、發(fā)現(xiàn)、挖掘或創(chuàng)造出物理問題中的對稱美，從物理問題的對稱美去思考問題，運用對稱美去解決物理問題的能力。

3.1 簡介物理學史，認識對稱美

物理學的發(fā)展離不開對稱思維，要讓學生認識到這一點。物理教材有許多這樣的素材，在適當?shù)臅r機和切入點，教師要向學生介紹這樣的事例。如在學習“庫侖定律”時，應介紹：庫侖的功績主要在于通過扭秤實驗確定了靜電力的大小與兩點電荷距離的平方成反比，至于靜電力與兩電荷電量乘積成正比，主要是類比于萬有引力定律的結果。

3.2 挖掘物理內容，了解對稱美

物理世界中的對稱美普遍存在，無處不在。教師要充分挖掘物理教材中的對稱美，把所有的對稱美介紹給學生，這樣既可激發(fā)學生學習物理的興趣，有利于掌握物理知識，又可讓學生了解對稱美，知道對稱美的普遍性。

3.3 學習守恒定律，欣賞對稱美

最能體現(xiàn)物理學對稱美的是物理學上的守恒定律。我們都會對對稱美與守恒定律的永恒聯(lián)系如此簡單而深刻感到吃驚和敬畏，為人類智慧的追求能達到這樣的高度而嘆服。例如，動量守恒定律：若系統(tǒng)所受的合外力為零，這個系統(tǒng)的動量保持不變。其數(shù)學表達式是：

∑p=∑p0或∑（mv）=∑（mv0）

對于在一條直線上運動的兩個物體組成的系統(tǒng)，動量守恒定律的一般表達式為：

m1v1+m2v2= m1v′1+m2v′2

從守恒定律的數(shù)學表達式可看出：表達式是如此簡單，但含義卻非常深刻；表達式的等式兩邊是嚴格對稱的，給人一種爽心悅目的對稱美感；學習守恒定律就是在欣賞對稱美。

3.4 運用直覺思維，發(fā)現(xiàn)對稱美

所謂直覺思維，就是人們在分析和解決問題時，頭腦中的某些知識、經驗和能力在無意識的狀態(tài)下突然溝通，從而產生認識上的飛躍，對某一問題突然頓悟，迅速做出猜測和設想。有些問題中的對稱美并沒有明顯地告訴我們，它隱含得很深，一下子難以發(fā)現(xiàn)，這就需要運用直覺思維，猜測其具有某種對稱性，再進行檢驗，驗證其猜測，發(fā)現(xiàn)對稱美，進而找出解決問題的方法。

例1 有12個阻值都是R的電阻，組成一立方體，如圖1（甲）所示，求每一面的等效電阻RAG。



初看起來，這個題目無從下手，但憑直覺猜測：甲圖中的電阻應該具有對稱性，可以用等電勢點斷、接法使電路簡化，從而容易求解。

仔細考察各支點電位，可以證實上述猜測。設電流從同一平面的A點流入，G點流出。顯然B、D兩點電位相同，因而E、H兩點電位也相同。把等電勢點B、D直接相連，E、H直接相連，可以得到電路圖乙。簡化圖乙可得圖丙所示的橋式電路。橋式電路中，兩臂電阻成正比例，E、H點和B、D點間的電阻上沒有電流流過，即E、H點和B、D點也是等電勢點。

這樣，E、H點和B、D點之間可以看成斷路。所以，RAG=（32R+32R）（R2+R2）32R+32R+R2+R2 =34R。

3.5 利用類比推理，尋找對稱美

有些物理問題中的對稱美只要運用類比推理，一下子就可以找出來。通過訓練學生的類比推理能力，可以培養(yǎng)學生尋找對稱美的能力。

例2 如圖2所示，質量為m，所帶電荷為q的小球系于上端固定的長為L的細線下端，并置于水平方向的勻強電場E中。當細線偏離豎直方向夾角為α時，小球靜止。如果把小球稍稍拉離靜止位置后由靜止釋放，求小球回到靜止位置時的最短時間。

分析 只要把此問題與單擺類比，再把mg′=(mg)2+(Eq)2類比于mg，就可看出，此問題就是g′=g2+E2q2m2的具有對稱美的單擺模型。從而容易求出所求的時間為

t=T4=π2mLm2g2+E2q2。

3.6 通過逆向思維，運用對稱美

有些問題按常規(guī)方法去求解很復雜，甚至無法求解，如果根據(jù)問題的對稱性，通過逆向思維求解則能起到意想不到的簡便的效果或者使無法求解的問題能夠求解。

例3 一個半徑為R的光滑半球形球臺，固定在水平面上，問在臺下的水平面上應在何處以多大的速度朝何方向拋出一個小球（可視為質點），才可使小球最后恰好靜止在半球臺的頂點上？（不計空氣阻力）

分析 若直接根據(jù)斜上拋等規(guī)律求解，本題很復雜，甚至無法下手。但若考慮到運動的對稱性，運用逆向思維，設想小球原來靜止在球臺頂上，由于受到一個極小的擾動而由靜止開始自行滑下，那么，小球落地時的速度大小和方向以及落地點距球臺中心的距離即為所求。

物理科學中普遍存在著對稱美。追求物理理論的對稱美可促進物理科學的向前發(fā)展；追求物理問題的對稱美可幫助我們學習物理知識，找到解決問題的捷徑。因此，在物理教學中要讓學生認識、了解、欣賞、發(fā)現(xiàn)、尋找和運用對稱美，使學生掌握求解物理問題的對稱性方法，培養(yǎng)和訓練學生運用對稱美求解物理問題的能力。

參考文獻：

［1］［3］［4］王宏金，程民治．物理科學臻美概論［M］．濟南：山東教育出版社，1996．前言，5，205-211.

［2］趙中立，許良英編譯．紀念愛因斯坦譯文集［M］．上海：上?？茖W技術出版社，1979．229.

(欄目編輯鄧 磊)