“三線合一”定理的靈活應(yīng)用

“三線合一”定理是等腰三角形所特有的性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高互相重合．該定理其實(shí)包括如下三個(gè)方面的內(nèi)容：

1．等腰三角形底邊上的中線，既是頂角的平分線，又是底邊上的高線；

2．等腰三角形頂角的平分線，既是底邊上的高線，又是底邊上的中線；

3．等腰三角形底邊上的高線，既是底邊上的中線，又是頂角的平分線．

顯見(jiàn)，以上三方面的內(nèi)容，給我們提供了證明線段相等、角相等、直線垂直的新思想和新方法．在解答一些證明問(wèn)題時(shí)，要注意靈活應(yīng)用它們．

例1 如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF．

分析：依題意，DE和DF分別為點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離，要證明它們相等，可先證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即證明AD是∠BAC的平分線．

證明：連接AD．

因?yàn)锳B=AC，BD=CD，

所以AD是等腰△ABC底邊BC上的中線．

所以AD平分∠BAC．

因?yàn)镈E⊥AB于E，DF⊥AC于F，

所以DE=DF．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰△ABC底邊BC上的中線AD是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例2 如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一點(diǎn)，求證：AB-AC＞PB-PC．

分析：證明四條線段之間的不等關(guān)系，應(yīng)把這四條線段轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形中的三邊．為了得到AB-AC的結(jié)果，可在AB上截取AE=AC，則有BE=AB-AC．為此，只要證明BE＞PB-PC即可．

證明：在AB上截取AE=AC，連接PE、CE，CE交AD于F．

因?yàn)锳E=AC，AD平分∠BAC，

所以AF是等腰△ACE的頂角∠CAE的平分線．

所以AF⊥CE，CF＝EF．

即，AF是CE的垂直平分線．

因?yàn)镻在AF上，

所以PE＝PC．

因?yàn)锽E＞PB-PE，BE=AB-AE，

所以AB-AC＞PB-PC．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰△ACE頂角∠CAE的平分線AF，是底邊CE上的高線，同時(shí)又是底邊CE上的中線的性質(zhì)．

例3 如圖，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AD=AE，求證：DE⊥BC．

分析：注意到△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，那么底邊上的高與頂角平分線重合．要證明DE⊥BC，應(yīng)先證明DE與這條高平行．

證明：過(guò)A作AF⊥BC于F．

因?yàn)锳B=AC

所以AF平分∠BAC．

所以∠BAC=2∠BAF．

因?yàn)锳D=AE，

所以∠D=∠AED．

所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．

所以∠BAF=∠D，DE∥AF．

所以DE⊥BC．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰△ABC底邊BC上的高AF是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例4 如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，求證：∠CBD=1/2∠BAC．

分析：為了得到1/2∠BAC，可考慮作∠BAC的平分線．這樣，把證明兩角成倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩角是相等關(guān)系．

證明：作∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．

因?yàn)锳B=AC，AE平分∠BAC，

所以AE是等腰△ABC頂角∠BAC的平分線．

所以AE⊥BC于點(diǎn)E．

所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，

因?yàn)锽D⊥AC于點(diǎn)D，

所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．

所以∠CBD=∠1=1/2∠BAC．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰△ABC頂角∠BAC的平分線是底邊BC上的高線的性質(zhì)．