有理數(shù)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

杜友平

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)及建議

本章的概念、法則較多，要著重在應(yīng)用中加強(qiáng)理解，在理解中強(qiáng)化記憶，要注意有理數(shù)與小學(xué)知識的區(qū)別與聯(lián)系.進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是確定運(yùn)算結(jié)果的符號.同時還要注意，減法可以轉(zhuǎn)化為加法，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，要靈活運(yùn)用運(yùn)算律化簡運(yùn)算.

二、重要知識點(diǎn)回顧

1. 主要概念

（1）負(fù)數(shù)：叫做負(fù)數(shù).

對于負(fù)數(shù)應(yīng)這樣理解：①我們把小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)（0除外）前面加上“-”，就變成了負(fù)數(shù)；②負(fù)數(shù)在實(shí)際中表示的意義與正數(shù)相反；③帶“-”的并不一定都是負(fù)數(shù)，如-a，-（-2）等.

（2）有理數(shù)：統(tǒng)稱有理數(shù).

①整數(shù)除正整數(shù)、0外，還有負(fù)整數(shù)；②分?jǐn)?shù)除正分?jǐn)?shù)外，還有負(fù)分?jǐn)?shù)；③圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)，所以不是有理數(shù)；④有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，所以它們都是有理數(shù).

（3）數(shù)軸：叫做數(shù)軸.

它的三要素是：①；②；③.

（4）相反數(shù)：的兩個數(shù)互為相反數(shù).

相反數(shù)的代數(shù)意義是，幾何意義是.求任意一個數(shù)的相反數(shù)實(shí)際上是在這個數(shù)前面加上.

（5）絕對值：叫做數(shù)a的絕對值.

絕對值的性質(zhì)是：的絕對值是它本身；的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是.

（6）倒數(shù)：互為倒數(shù).

的倒數(shù)是其本身，沒有倒數(shù).

（7）乘方：叫做乘方.乘方的結(jié)果叫做.

（8）科學(xué)記數(shù)法：叫做科學(xué)記數(shù)法.用科學(xué)記數(shù)法表示一個較大的數(shù)時，1≤|a|<10，n是原數(shù)的所有整數(shù)數(shù)位減1.

（9）有效數(shù)字：都是有效數(shù)字.

2. 主要法則與規(guī)律

（1） 法則

①有理數(shù)的加法法則：.

②有理數(shù)的減法法則： .

③有理數(shù)的乘法法則：.

④有理數(shù)的除法法則：.

⑤有理數(shù)的乘方的符號法則：.

（2） 運(yùn)算律

①加法交換律：a+b=.

②加法結(jié)合律：（a+b）+c=.

③乘法交換律：ab=.

④乘法結(jié)合律：（ab）c=.

⑤乘法分配律：a（b+c）=.

（3）有理數(shù)混合運(yùn)算的順序?yàn)椋孩?；②；?

三、考點(diǎn)透視（所選例題均為中考題）

考點(diǎn)1：考查有理數(shù)的有關(guān)概念

例1（2008年泰州市）化簡-（-2）的結(jié)果是 （）.

A．-2 B．- C． D． 2

這道題考查符號運(yùn)算，-（-2）=2.選D.

解決此類問題，關(guān)鍵是弄清有理數(shù)的概念與各類數(shù)的特征，不要被表面現(xiàn)象所迷惑.

考點(diǎn)2：考查數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)的概念

例2（1）（2008年威海市）點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上的位置如圖1，其中表示-2的相反數(shù)的點(diǎn)是.

（2）（2008年資陽市）如圖2，在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離為3個單位長度的點(diǎn)有（）.

A． D點(diǎn) B． A點(diǎn)

C． A點(diǎn)和D點(diǎn) D． B點(diǎn)和C點(diǎn)

（1）先要確定-2的相反數(shù)，然后再在數(shù)軸上找到表示這個數(shù)字的點(diǎn)，填B點(diǎn).（2）通過觀察數(shù)軸可知，A、D兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都為3，選C.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1.正確理解相關(guān)概念的本質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：考查絕對值的有關(guān)運(yùn)算

例3（2008年蕪湖市）若|m-3|+（n+2）2=0，則m+2n的值為（）.

A．-4 B．-1 C． 0 D． 4

由于|m-3|≥0，（n+2）2 ≥0，而|m-3|+（n+2）2=0，所以|m-3|=0，（n+2）2=0，即m=3， n=-2， 所以m+2n=-1.選B.

一個數(shù)的絕對值的幾何意義是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以絕對值應(yīng)是非負(fù)數(shù).幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個非負(fù)數(shù)同時為0.

考點(diǎn)4：有理數(shù)大小的比較

例4（1）（2008年湛江市）在-2、0、1、3這四個數(shù)中，比0小的數(shù)是（）.

A.-2 B. 0 C. 1D. 3

（2）（2008年郴州市）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖 3，則a與b的大小關(guān)系是（）.

A． a > b B． a=bC． a < b D． 不能判斷

對于具體的數(shù)，我們可以直接比較大小，對于用字母表示的數(shù)，我們可以借助數(shù)軸來比較大小.

（1）選A，（2）選C.

有理數(shù)比較大小的兩個重要方法：（1）兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小，正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；（2）數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

考點(diǎn)5：考查有理數(shù)的運(yùn)算

例5（1）（2008年大連市）某市某天的最高氣溫為6℃，最低氣溫為-2℃，該市這一天的最高氣溫比最低氣溫高℃.

（2）（2008年湘潭市） 如圖4，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的兩數(shù)的（）.

A. 和為正數(shù) B. 和為負(fù)數(shù)

C. 積為正數(shù) D. 積為負(fù)數(shù)

（3）（2008年江西）計(jì)算（-2）2-（-2）3的結(jié)果是（）.

A. -4B. 2C. 4D. 12

（1）需要進(jìn)行簡單的有理數(shù)加減運(yùn)算，填8.

（2）從數(shù)軸上可以看出，一個為正數(shù)，一個為負(fù)數(shù)，并且它們互為相反數(shù)，所以它們的和為0，積為負(fù)數(shù).選D.

（3）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算的規(guī)則，先進(jìn)行乘方運(yùn)算，然后再進(jìn)行減法運(yùn)算.選D.

對于有理數(shù)的混合運(yùn)算，應(yīng)按如下口訣進(jìn)行：加法運(yùn)算要熟練，減法運(yùn)算會轉(zhuǎn)換，乘除要將符號判，運(yùn)算順序嚴(yán)把關(guān)，運(yùn)算定律要牢記.

考點(diǎn)6：考查乘方的意義及有關(guān)運(yùn)算

例6（1）（2008年嘉興市）計(jì)算（-3）2的結(jié)果是（）.

A．-6 B． 6 C．-9 D． 9

（2）（2008年蘇州市）計(jì)算（-1）2 008 的值為．

（1）要注意（-3）2與-32的區(qū)別，選D.（2）負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，填1.

乘方是有理數(shù)的一種重要運(yùn)算，要正確理解其意義及運(yùn)算法則.

考點(diǎn)7：考查科學(xué)記數(shù)法、有效數(shù)字、近似數(shù)的意義

例7（1）（2008年鹽城市）2008年北京奧運(yùn)會圣火在全球傳遞的里程約為137 000 km，用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）.

A． 1.37 × 103 km B． 137 × 103 km

C． 1.37 × 105 km D． 137 × 105 km

（2）（2008年義烏市）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2007年義烏中國小商品城市場全年成交額約為348.4億元，連續(xù)17年位居全國市場榜首.近似數(shù)348.4億的有效數(shù)字有（）.

A. 3個B. 4個C. 5個 D. 6個

（1）整數(shù)部分共有6位，所以n取5，a=1.37.選C.（2）從3開始，后面的數(shù)字都是有效數(shù)字，共有4個有效數(shù)字.選B.

對于科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字，要正確理解其意義.用科學(xué)記數(shù)法表示一個較大的數(shù)時，要正確確定a和n的值.數(shù)一個數(shù)的有效數(shù)字要從左邊第一個不是0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，到末位數(shù)字止.

考點(diǎn)8：考查新題型

例8（2008年貴陽市）符號“f ”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…；

f（）=2，f（）=3，f（）=4，f（）=5，….

利用以上規(guī)律計(jì)算：f（）-f（2 008）=．

這是一道閱讀理解題，根據(jù)材料給定的法則與規(guī)律可知，f（）-f（2 008）=2 008-2 007=1.

解決閱讀理解類問題，要認(rèn)真閱讀材料，在觀察其過程的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、探索、比較、歸納、猜想，進(jìn)而找到規(guī)律.

四、小試身手

1. a、b兩個數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為負(fù)數(shù)，那么這兩個數(shù)的情況可能是.

2. 若（a-1）2+（b+2）2+|c-3|=0，則（a+1）（b-2）（c+3）=.

3. 2008年9月25日，我國成功發(fā)射了“神舟”七號宇宙飛船，飛船的飛行速度大約是7.5 km/s，繞地球飛行一周的時間大約是90 min.宇航員在太空中繞地球一圈（速度與飛船速度相同）的路程大約是 km（用科學(xué)記數(shù)法表示）.

4. 觀察下列按順序排列的等式：0+1=12，2 × 1+ 2=22，3 × 2+3=32，4 × 3+4=42……請你猜想：第10個等式應(yīng)為．

5. 計(jì)算：

（1）- × -2+ ÷ 1.52.

（2） ÷ -+.

6. x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，|a|=1.求a2-（x+y+mn）a+（x+y）2 008+（-mn）2009的值.

7. 有一輛執(zhí)行任務(wù)的警車在一條東西方向的公路上巡邏，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，這輛車從出發(fā)地開始所走的路程（單位：km）為：+3，-2.5，+5，-8，-1.5，+2，-1.

（1）此時，這輛車的司機(jī)如何向隊(duì)長描述警車的位置？

（2）如果隊(duì)長命令警車司機(jī)馬上開車返回出發(fā)地，則這次巡邏共耗油多少升？（每千米路程耗油aL，巡邏的路程包括返回的路程）

8. A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距7個單位長度，且A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊.將A點(diǎn)每秒向右移動2個單位長度，B點(diǎn)每秒向左移動3個單位長度.已知A、B兩點(diǎn)同時開始移動，經(jīng)過5 s后，A點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)字8對應(yīng).

（1）A點(diǎn)最初與數(shù)軸上哪一個數(shù)字對應(yīng)？

（2）B點(diǎn)最初與數(shù)軸上哪一個數(shù)字對應(yīng)？

（3）B點(diǎn)最后與數(shù)軸上哪一個數(shù)字對應(yīng)？

（答案在本期找）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。