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    反比例函數(shù)中考題種種

    2008-12-24 10:27:02
    關(guān)鍵詞:反比例關(guān)系式道題

    趙 輝

    反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)三大函數(shù)之一,與生活聯(lián)系緊密,是每年中招考試的必考內(nèi)容.本文從三個方面對反比例函數(shù)進行總結(jié),幫助同學(xué)們將知識系統(tǒng)化,夯實基礎(chǔ)知識,提高解決實際問題的能力.

    一、反比例函數(shù)的基本概念題

    例1 (2008年新疆建設(shè)兵團)我們學(xué)習(xí)過反比例函數(shù),例如,當(dāng)矩形的面積S一定時,長a是寬b的反比例函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式可以寫成a= (S為常數(shù),S≠0).請你仿照上例另舉一個在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實例,并寫出它的函數(shù)關(guān)系式.

    解:三角形的面積S一定時,三角形的底邊長y是高x的反比例函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式為y= (S為常數(shù),S≠0).

    注意:將實際生活中的數(shù)學(xué)問題抽象成函數(shù)關(guān)系式時,一要注意題中所給條件的限制,即自變量的取值范圍;二要清楚哪個量是自變量,哪個量是常數(shù),哪個量是因變量.

    例2 (2008年云南省)函數(shù)y= 中,自變量x的取值范圍是______.

    解:要使反比例函數(shù)有意義,必須分母不為0,故x-1≠0,x≠1.

    二、確定反比例函數(shù)的解析式

    例3 (2008年安徽?。┖瘮?shù)y= 的圖象經(jīng)過點(1,-2),則k的值為().

    A.B. - C. 2D. -2

    解:將點(1,-2)代入函數(shù)y= ,得-2= ,k=-2.故選D.

    例4 (2008年襄樊市)在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳,當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時,氣體的密度也會隨之改變,密度ρ(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),它的圖象如圖1所示.當(dāng)V=10 m3時,氣體的密度是().

    A. 5 kg/m3 B. 2 kg/m3

    C.100 kg/m3 D. 1 kg/m3

    解:設(shè)反比例函數(shù)的解析式為ρ= (V>0).觀察到函數(shù)圖象上的一個點(5,2),將其代入反比例函數(shù)ρ= 中,得k=10.

    函數(shù)解析式為ρ= (V>0).將V=10代入ρ= ,得ρ=1,故選D.

    注意:(1) 這道題的解題思路是求出函數(shù)解析式,然后利用解析式求密度.這道題雖然簡單,但這種解題思路應(yīng)用很廣.

    (2) 這道題圖象只有第一象限一個分支,說明自變量大于零,列解析式時不要忘記注明取值范圍.

    例5 (2008年寧波市)如圖2,正方形ABOC的邊長為2,反比例函數(shù)y= 過點A,則k的值是().

    A. 2 B. -2 C. 4 D. -4

    解:由正方形ABOC的邊長為2,可知正方形ABOC的面積為4.

    又由反比例函數(shù)中k的幾何意義,可知|k|=4.

    因為反比例函數(shù)的圖象在第二象限,所以k<0,則k=-4.故選D.

    三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

    例6 (2008年仙桃市)對于反比例函數(shù)y= (k≠0),下列說法不正確的是().

    A. 它的圖象分布在第一、三象限?搖?搖?搖B. 點(k,k)在它的圖象上

    C. 它的圖象是中心對稱圖形?搖?搖?搖D. y隨x的增大而增大

    解:因k≠0,故k2>0.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),A,B,C成立,故選D.

    例7 已知反比例函數(shù)y= (a≠0)在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小,則一次函數(shù)y=-ax+a的圖象不經(jīng)過().

    A. 第一象限 B. 第二象限

    C. 第三象限 D. 第四象限

    解:由反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)y的值隨x值的增大而減小,可知a>0,則-a<0.根據(jù)性質(zhì),一次函數(shù)的圖象過第一、二、四象限,故選C.

    注意:反比例函數(shù)圖象的位置、k值的正負(fù)、函數(shù)的增減性(在每一象限內(nèi)),這三者的關(guān)系是:其中一個確定,其他兩個也確定;k>0?圳圖象在一、三象限?圳減函數(shù);k<0?圳圖象在二、四象限?圳增函數(shù).

    四、反比例函數(shù)的實際應(yīng)用

    例8 (2008年杭州市)為了預(yù)防流感,某學(xué)校用藥熏消毒法對教室進行消毒.已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間t(h)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y= (a為常數(shù)),如圖3所示.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題.

    (1) 寫出從藥物釋放開始,y與t之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量的取值范圍.

    (2) 據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25 mg以下時,學(xué)生方可進入教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時后,學(xué)生才能進入教室?

    解:(1) 將點P3, 代入y= ,解得a= .則y= .

    將y=1代入y= ,得t= .反比例函數(shù)的解析式為y= t≥ .

    將 ,1代入y=kt,得k= .所求正比例函數(shù)為y= t0≤t< .

    (2) 解不等式 <0.25,得t>6.所以至少需要經(jīng)過6 h后,學(xué)生才能進入教室.

    責(zé)任編輯/趙良河

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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