勾股定理應(yīng)用題分析

作者簡(jiǎn)介 馮瑞先，鄭州市教研室教研員，鄭州市教研室中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科組組長(zhǎng)，中學(xué)高級(jí)教師，數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家級(jí)教練員，人民教育出版社新課程培訓(xùn)專家組成員，河南省骨干教師，河南省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)常務(wù)理事，河南省數(shù)學(xué)會(huì)理事，河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)委員，鄭州市數(shù)學(xué)會(huì)副秘書(shū)長(zhǎng).長(zhǎng)期從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和評(píng)價(jià)研究，主編、參編初、高中教輔資料幾十套，在國(guó)家級(jí)報(bào)紙、雜志上發(fā)表論文數(shù)十篇.

勾股定理和其逆定理在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)都有廣泛的應(yīng)用.

例1 有一根長(zhǎng)為70 cm的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別為50 cm、30 cm、40 cm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？

分析：木棒能否放進(jìn)木箱中，要比較木棒的長(zhǎng)度與木箱（長(zhǎng)方體）的體對(duì)角線的長(zhǎng)度.若體對(duì)角線大于70 cm，則木棒能放進(jìn)木箱中.否則，木棒不能放進(jìn)木箱中.

解：如圖1，設(shè)木箱為ABCD-A1B1C1D1，連接A1C1，AC1.

在Rt△A1B1C1中，

A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3 400．

在Rt△AA1C1中，

AC12=AA12+A1C12=402+3 400=5 000．

因?yàn)? 000＞702，所以AC1＞70 cm.

所以70 cm長(zhǎng)的木棒能放進(jìn)木箱中．

點(diǎn)評(píng)：長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)若分別為a、b、c，則它的體對(duì)角線長(zhǎng)為.

例2 如圖2所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為2 m，梯子的頂端B到地面的距離為7 m.現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離為3 m，同時(shí)梯子的頂端B下降到B′，那么，BB′等于多少？

分析：要求BB′的長(zhǎng)，已知BO的長(zhǎng)為7 m，所以，只要求出B′O的長(zhǎng)即可．而A′O是易知的，并且梯子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其長(zhǎng)度是不變的，即AB= A′B′.

解：在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53.

在Rt△A′B′O中，A′B′2＝A′O2+B′O2＝32+B′O2＝53.

所以，B′O＝＝=2（m）.

所以BB′＝BO－B′O=7-2（m）.

點(diǎn)評(píng)：解梯子問(wèn)題的關(guān)鍵，是抓位梯子長(zhǎng)度不變這個(gè)特點(diǎn).不要想當(dāng)然地認(rèn)為，梯子一端移動(dòng)了多少，另一端也會(huì)移動(dòng)多少.

例3 如圖3，A，B，C，D是四個(gè)小鎮(zhèn)，它們之間都有筆直的公路相連接（除B，C外）.公共汽車(chē)行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價(jià)與路程成正比．已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車(chē)票價(jià)如下：AB：10元；AC：12.5元；AD：8元；BD：6元；CD：4.5元．為了B、C之間的交通方便，現(xiàn)要在B、C之間建成筆直公路.請(qǐng)按上述標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出B、C之間的公共汽車(chē)的票價(jià)．

分析：解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意.題設(shè)條件中給的是票價(jià)，而小鎮(zhèn)與小鎮(zhèn)之間是距離，所以，必須把路程和票價(jià)之間的關(guān)系理順.由已知，票價(jià)與路程成正比，故可把票價(jià)視為路程來(lái)處理，問(wèn)題就變成解三角形了.

解：因?yàn)槠眱r(jià)與路程成正比，故可把票價(jià)視為路程來(lái)處理．

由已知可以認(rèn)為：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．

因?yàn)锳D2+BD2=82+62=100=102=AB2，所以△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°．

連接BC，在Rt△BDC中，CD=4.5，BD=6，所以BC==7.5．

故B、C之間的公共汽車(chē)票價(jià)為7.5元．

例4 等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為8 cm，腰長(zhǎng)為5 cm.一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從B點(diǎn)向C點(diǎn)以0.25 cm/s的速度移動(dòng).請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，PA與腰垂直？

分析：要使PA與腰垂直，只須PC2=AP2+AC2或BP2=AB2+AP 2.為此，應(yīng)分別列出三邊的長(zhǎng).而已知圖形中沒(méi)有直角三角形，所以應(yīng)作出直角三角形.過(guò)點(diǎn)A作底邊BC上的高AD，直角三角形就出現(xiàn)了，問(wèn)題可以用勾股定理來(lái)解決.

解：如圖4，作底邊BC上的高AD，垂足為D點(diǎn)．設(shè)PA⊥AC．

由等腰三角形的性質(zhì)知BD=DC=BC=4 cm．

在Rt△ADB中，AD2=AB2-BD2=9，所以AD=3 cm．

在△PAC中，AP 2+AC2=PC2，而AP 2=AD2+PD2=32+（PC-4）2，故代入有32+（PC-4）2+52=PC2.解得PC= cm，故BP=8-=（cm）．

P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為÷0.25=7（s）．

當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)與C點(diǎn)之間時(shí)，由等腰三角形的對(duì)稱性，作P點(diǎn)關(guān)于D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′，此時(shí)有P′A⊥AB.

則P′C= cm．BP′=8-=（cm）．

此時(shí)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為÷0.25=25（s）．

所以，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)7 s或25 s時(shí)，PA與腰垂直．

點(diǎn)評(píng)：與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題，大都涉及分類(lèi)討論，其原因之一，是兩個(gè)腰相等，具有“雙重性”.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。