四邊形學(xué)習(xí)要點(diǎn)與中考試題分析

孔凡哲　隋志杰

作為平面幾何中的基本圖形，四邊形以其基本概念、基本性質(zhì)構(gòu)成初中數(shù)學(xué)“圖形與空間”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的主干內(nèi)容.在四邊形的學(xué)習(xí)中，我們不僅需要熟練地掌握四邊形的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，而且要清楚地把握相關(guān)的題型及其解法.

一、教材解讀

四邊形這部分知識(shí)主要涉及兩類(lèi)內(nèi)容，一是平行四邊形，二是梯形.平行四邊形是重點(diǎn).平行四邊形及其特殊圖形（矩形、菱形、正方形）的基本概念、基本性質(zhì)及判定，構(gòu)成平行四邊形學(xué)習(xí)的核心.其中，尤其要熟練掌握平行四邊形、特殊平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.此外，也要注意理解梯形、密鋪等內(nèi)容，掌握梯形、等腰梯形的基本性質(zhì)和常用的判定方法.通過(guò)探索平面圖形的密鋪，了解三角形、四邊形、六邊形等可以密鋪圖形的特征，能運(yùn)用這三種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的密鋪設(shè)計(jì).

由于各種特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定方法比較多，在學(xué)習(xí)中很容易混淆，因而，理清它們之間的關(guān)系也是本章學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).

二、中考試題中的常見(jiàn)題型及解題思路

1. 直接應(yīng)用知識(shí)類(lèi)

這類(lèi)試題主要是運(yùn)用平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法，進(jìn)行相對(duì)簡(jiǎn)單的解釋和應(yīng)用.就試題的形式來(lái)說(shuō)，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC ，∠D=90°.若再添加一個(gè)條件，就能推出四邊形ABCD是矩形.這個(gè)條件是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）

解析：根據(jù)判定方法尋找缺少的條件.結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)，只要有AD=BC就可知四邊形ABCD是平行四邊形，再加上∠D=90°就可推出四邊形ABCD是矩形.所以，可添加條件AD=BC.答案不唯一.

2. 簡(jiǎn)單計(jì)算類(lèi)

這類(lèi)試題主要涉及求四邊形中線段 、角及面積等，一般以計(jì)算題的形式出現(xiàn).

例2 如圖2，矩形A1B1C1D1的面積為４，順次連接各邊中點(diǎn)得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn)得到四邊形A3B3C3D3，依此類(lèi)推.則四邊形AnBnCnDn的面積是.

解析： 如圖3所示，連接A2C2、B2D2，則A2C2∥A1D1，B2D2∥C1D1.因?yàn)锳1D1⊥C1D1，所以，A2C2⊥B2D2. 則A2C2與B2D2分矩形A1B1C1D1為四個(gè)全等的矩形.又因?yàn)榫匦螌?duì)角線所分的兩個(gè)三角形全等.所以，四邊形A2B2C2D2的面積是矩形A1B1C1D1面積的.同理可知，AC與BD分四邊形ABCD為四個(gè)全等的菱形（四邊形A2B2C2D2為菱形可證）.菱形對(duì)角線也分菱形為兩個(gè)全等的三角形，所以，四邊形A3B3C3D3的面積是四邊形A2B2C2D2面積的，是矩形A1B1C1D1面積的.依此類(lèi)推，四邊形AnBnCnDn的面積是矩形A1B1C1D1面積的.因而，四邊形AnBnCnDn的面積是×4=.

3. 探究類(lèi)

這一類(lèi)題通常屬于開(kāi)放型題，包括結(jié)論開(kāi)放型、條件開(kāi)放型、綜合開(kāi)放型等，主要考查學(xué)生的創(chuàng)新能力、探究能力.題中給出一定的信息，讓學(xué)生在這些信息的啟發(fā)、引導(dǎo)下進(jìn)行獨(dú)立的探索.題目一般以證明或簡(jiǎn)答的形式出現(xiàn).

例3 將平行四邊形紙片ABCD按圖4的方式折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落到點(diǎn)D′處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD′F.

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結(jié)論．

解析：（1）由折疊的性質(zhì)可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠DCE＝∠D′AE．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠D＝∠D′，AB=CD＝AD′，∠D′AE=∠DCE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3，∠1=∠3.

∴△ABE ≌△A D′F（ASA）．

（2）四邊形AECF是菱形．

由折疊性質(zhì)可知：AE＝EC，∠4＝∠5．

因四邊形ABCD是平行四邊形，故 AD∥BC．

故∠5＝∠6，∠4＝∠6．所以AF＝AE．

因?yàn)锳E＝EC，所以AF＝EC．

又因AF∥EC，故四邊形AECF是平行四邊形.

因?yàn)锳F＝AE，所以四邊形AECF是菱形.

4. 密鋪類(lèi)

例4 如圖5所示，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，按圖中所示的規(guī)律排列，則2 008個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是（）.

Ａ． 2 008Ｂ． 2 009Ｃ． 2 010Ｄ． 2 011

解析：觀察所給圖形可知，每增加一個(gè)三角形，四邊形周長(zhǎng)只增加三角形一條邊的長(zhǎng).所以，如果增加2 007個(gè)三角形，則增加了2 007條邊的長(zhǎng)，所以，用2 008個(gè)三角形鑲嵌成的四邊形的周長(zhǎng)為3+2 007=2 010.所以，本題的正確選項(xiàng)是C.

5. 作圖類(lèi)

尺規(guī)作圖問(wèn)題在中考中可謂“豐富多彩”，命題形式也多種多樣.解決這類(lèi)問(wèn)題，只要抓住基本規(guī)律，按照尺規(guī)作圖的規(guī)則，按部就班進(jìn)行即可.

例5 若一個(gè)矩形的短邊與長(zhǎng)邊的比值為（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形.

（1）操作：請(qǐng)你在圖6所示的黃金矩形ABCD（ AB > AD）內(nèi)，以短邊 AD為一邊作正方形AEFD.

（2）探究：四邊形 EBCF是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）歸納：通過(guò)上述操作及探究，請(qǐng)概括出具有一般性的結(jié)論（不需要證明）.

解析：（1）在 AB 和DC上分別截取AE、DF，使AE =DF = AD ，連接 EF，則四邊形 AEFD就是所求作的正方形（如圖7）.

（2）四邊形 EBCF 是黃金矩形.

證明：因?yàn)樗倪呅?AEFD 是正方形，所以易知四邊形EBCF是矩形.設(shè)AB=a，AD=b.

則=，所以= =－1=-1=.

所以，矩形EBCF是黃金矩形.

（3）在黃金矩形內(nèi)以短邊為邊作一個(gè)正方形后，所得到的另外一個(gè)四邊形是矩形，而且是黃金矩形.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。