打破學(xué)科界限　培養(yǎng)學(xué)生解綜合題的能力

劉小洪

由海南、廣東等省率先進(jìn)行的新一輪教材試驗(yàn)，更加注重學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，它符合教育部制定的《面向21世紀(jì)教育振興行動(dòng)計(jì)劃》中提出的實(shí)施“跨世紀(jì)素質(zhì)教育工程”.通過課程教材改革，評(píng)價(jià)制度改革，全面推進(jìn)素質(zhì)教育的發(fā)展，并提出了高考內(nèi)容改革的總體要求：更加注重學(xué)生能力和素質(zhì)的考查.那么我們教師又該怎樣提高學(xué)生以及自身的能力和素質(zhì)呢?下面我們來看一道習(xí)題(新教材高一上第141頁總復(fù)習(xí)A組第13題)

將銅片繞在盤子上，空盤時(shí)盤芯半徑為40毫米，滿盤時(shí)半徑為80毫米，銅片的厚度為0.1毫米.

求：(1)滿盤時(shí)共繞了多少圈；

(2)滿盤時(shí)銅片的長度.(精確到0.01玬)

(提示：按銅片厚度的中心線計(jì)算各圈半徑)

該題第一問較易解答：80-400.1=400圈.第二問的一般解答為數(shù)列方法：由提示知第一圈銅片半徑為40.05玬m；第二圈為40.15玬m，以此類推，即為：已知a1=40.05,d=0.1,n=400,求S璶.

S400=400×40.05+400×(400-1)2×0.1=16020+7980=24000玬m,總長度=2π×S400=150796玬m≈150.80玬.

在教學(xué)當(dāng)中發(fā)現(xiàn)有一位學(xué)生用物理方法同樣解出了該題的第二問.他的思路為：銅片末卷起之前可看作長方體，卷起后為圓柱體，前后體積應(yīng)相等，則有以下解法：

設(shè)銅片全長為y,寬為x，厚度為0.1，則卷起后柱體高為x，底面積為π(802-402)，由體積相等得0.1?x?y=π(802-402)?x，可解得y≈150796玬m≈150.80玬.

該方法新穎簡潔，說明該生解題思維具有獨(dú)創(chuàng)性.教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)多加引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生在解題中思維的發(fā)散.這個(gè)例子也說明我們平時(shí)教學(xué)生一題多解，往往還是在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的一題多解，即多種方法最終還是數(shù)學(xué)方法，沒能發(fā)散到其他學(xué)科去.目前國家試題組在全國范圍內(nèi)征集綜合題.我的理解，綜合題應(yīng)該是綜合多種學(xué)科不同知識(shí)點(diǎn)的題目，而不是單純的數(shù)學(xué)綜合或者物理的綜合，即解綜合題的過程中會(huì)用上數(shù)學(xué)的方法、物理的理論、化學(xué)的知識(shí)等等.在新教材中向量這一部分就有很多和物理力學(xué)有關(guān)的問題.例如新教材高一下第154頁習(xí)題第8題.

作用于同一質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)力F1=86玁,F2=83玁，且F1、F2的夾角為77°12′，求合力F及合力F與F1所成的角β(力精確到1玁，角度精確到1°).

該題首先要求學(xué)生知道物理中合力的概念以及合力的求法，即為向量中的平行四邊形法則，然后通過畫力的示意圖，再抽象為三角形，運(yùn)用解三角形的知識(shí)并借助計(jì)算器求解.這個(gè)題就要求學(xué)生綜合物理知識(shí)解題，當(dāng)然這個(gè)題對(duì)物理知識(shí)的要求不高，下面再看幾個(gè)例子.

例1 已知直角坐標(biāo)系平面上有兩點(diǎn)A(-2，1)，B(3，4).求一點(diǎn)P使其滿足以下兩個(gè)條件①P點(diǎn)在x軸上，②P到A、B兩點(diǎn)距離之和最小.

這是一道比較多見的題，如圖，一般的做法是先找到A(或B)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(或B′)然后連BA′(或B′A)與x的交點(diǎn)P即為所求.

它的理論依據(jù)大多老師會(huì)再找一點(diǎn)P′利用三角形兩邊和大于第三邊說明問題，實(shí)際上利用物理學(xué)當(dāng)中光的反射原理以及光線傳播路徑為最短路徑的理論即可說明.A′即為A在鏡中(x軸)所成像，圖即成為一束光的反射圖.這樣一來這個(gè)題目就很容易讓學(xué)生明白.

例2 求玞osπ5+玞os3π5的值.

該題的常見解法是利用和差化積，再利用倍角公式.

解法一：玞osπ5+玞os3π5=2玞osπ5+3π52?

玞osπ5-3π52=2玞os2π5玞osπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

解法二：玞osπ5+玞os3π5=

2玸inπ5玞osπ5+2玸inπ5玞os3π52玸inπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

以上兩種解法都運(yùn)用到了積化和差公式，在新教材中積化和差、和差化積公式只在例題和練習(xí)中出現(xiàn)證明，不作為學(xué)生必須掌握的公式.那么不用這兩個(gè)公式可以解出這個(gè)題嗎?答案是肯定的，下面就給出這類題的物理解法：5個(gè)大小為1牛頓的力，它們與x軸成角分別為π5、3π5、5π5、7π5、9π5，高中學(xué)生都知道像這樣均勻分布的力的合力顯然為零.若干個(gè)力的合力為零等價(jià)于這幾個(gè)力在x軸上的分量的合力為零且在y軸上的分量的合力也為零.則有下式成立：

F1?玞osπ5+F2?玞os3π5+F3?玞os5π5+F4?玞os7π5+F5?玞os9π5=0,因?yàn)镕1=F2=F3=F4=F5=1，所以玞osπ5+玞os3π5+玞os5π5+

玞os7π5+玞os9π5=0，又因?yàn)楂cosπ5=玞os9π5，

玞os3π5=玞os7π5,玞os5π5=-1，所以原式=12.這種解題的方法非常簡單，但它要運(yùn)用一定的物理力學(xué)知識(shí).

例3 現(xiàn)有含鹽7%的鹽水200克，生產(chǎn)需要含鹽在5%以上且在6%以下的鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的鹽水x克，則x的范圍是( ).

A.［100，400］ B.(100，400)

C.［200，500］ D.(200，500)

答案為B.若用數(shù)學(xué)方法，則須解兩個(gè)方程，然后確定答案.若用化學(xué)方法即用化學(xué)題中計(jì)算兩混合體平均分子量的方法(十字交叉法).

5%-4%=1%，7%-5%=2%，即7%的鹽水與4%的鹽水的質(zhì)量比為1∶2，所以4%的鹽水應(yīng)為400克，由于“5%以上”不包括5%，所以答案也不包括400，取開區(qū)間.同理可求另一解.

例4 在一原子反應(yīng)堆中，用石墨作減速劑，使快中子減速.已知碳核的每一次碰撞都是彈性正碰撞，而且認(rèn)為碰撞前碳核都是靜止的.

(1)問經(jīng)過一次碰撞，中子損失的能量是多少?(設(shè)碰撞前中子的動(dòng)能是E0)

(2)至少經(jīng)過多少次碰撞，中子的動(dòng)能才能小于10-6狤0?(玪g13=1.14,玪g11=1.041)

解：(1)設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為m和M，碰撞前中子的速度為v0，碰撞后中子和碳核的速度分別為v和V，由動(dòng)量守恒得：mv0=mv+MV (1)，又因?yàn)槭菑椥耘鲎?，由?dòng)能守恒定律得：12mv02=12mv2+12MV2 (2).由(1)、(2)解得V=-1123v0，即碰撞過程中損失的能量為△E=12mv02-12mv2=48169E0.

可見，用數(shù)學(xué)的語言和方法表述物理概念、物理定理十分重要.有的學(xué)生學(xué)得比較呆板，只把公式背下來，而不理解它的物理意義，所以就得不到(1)、(2)方程，或者不知如何對(duì)待未知的中子質(zhì)量，感到兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)而不得其解，其原因是思路不清，對(duì)待解二元一次方程組的計(jì)算技巧不熟練.

(2)設(shè)E1、E2、E3、…、E璶分別為中子在第一、第二次、…、第n次碰撞后的動(dòng)能，由△E=48169E0得：E1=E0-△E=(1113)2E0同理得：E2=(1113)2E1=(1113)4E0(類似數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo))可知：E璶=(1113)2n狤0 (3)

因?yàn)镋璶=10-6狤0,所以10-6狤0=(1113)2n狤0,

即10-6=(1113)2n,2n(玪g13-玪g11)=6,得n=41.1.所以需要經(jīng)過42次碰撞，中子的動(dòng)能才會(huì)小于10-6狤0.

可見，不僅要會(huì)用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出物理規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，還要有熟練的運(yùn)算技能.不然，即使有了(3)式也無法解得碰撞的次數(shù).

以上我們看到了數(shù)學(xué)和物理、化學(xué)解題中的相互運(yùn)用，我們的教學(xué)就應(yīng)沿著這個(gè)方向進(jìn)行，這樣才能充分挖掘出學(xué)生的創(chuàng)造性.我們要圍繞著以素質(zhì)教育為中心、構(gòu)建以面向21世紀(jì)、體現(xiàn)教育基本規(guī)律、突出學(xué)生的發(fā)展為本的新課程體系和新教材體系；加強(qiáng)對(duì)學(xué)生人格的健全塑造；加強(qiáng)對(duì)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力，創(chuàng)造性學(xué)力的科學(xué)培養(yǎng).今后跨學(xué)科的綜合教育勢在必行.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”