摭談隱含在一些公式證明中的重要數(shù)學(xué)思想

吳新建

平時我們都十分重視對書本上的一些公式及一些變形公式的教學(xué)，要求學(xué)生能夠理解并熟練地運(yùn)用這些公式.但我想僅滿足于這樣的要求還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還未能最大限度地挖掘出這些公式的潛在功能.事實(shí)上，在這些公式的證明中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，在教學(xué)時，僅強(qiáng)調(diào)公式結(jié)論本身，而對蘊(yùn)涵在公式證明中的數(shù)學(xué)思想棄之不顧，可以說是撿了一個西瓜卻丟了另一個更大的西瓜，這無異于暴殄天物.

本文就此談一談某些公式證明中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法在解題中的應(yīng)用，以期能引起各位同行的共鳴，不當(dāng)之處，敬請批評與指正.

1.構(gòu)造的思想

公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1是我們所熟知的組合數(shù)的一個性質(zhì)，該公式在解題中有著非常廣泛的應(yīng)用，此處篇幅所限，不再贅述.書本上對于該公式的證明采用了構(gòu)造的方法，具體地說，是構(gòu)造了一個取球的模型，從含有大小相同的n個白球與1個黑球的口袋內(nèi)取出m個球，其方法數(shù)有C琺﹏+1種，而這些取法又可分為兩類：一類是含黑球，有C﹎-1璶種，另一類是不含黑球，有C琺璶種，由分類計數(shù)原理可得C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1.

該公式的證明中體現(xiàn)了一種構(gòu)造的思想，從某種意義上說，該思想的價值更大于這個公式本身.用該公式能解決的問題，用該思想也必然能夠解決，而反之則未必.

例1 C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n(m,n,p∈N,且p≤m,p≤n).

分析：要用公式C﹎-1璶+C琺璶=C琺﹏+1來證明這個等式，幾乎是無從下手.而利用類似于證明該公式的構(gòu)造思想來解決這個問題則是易如反掌.

證明：構(gòu)造如下模型：從含有大小相同的n個白球與m個黑球的口袋中取出p個球，有C琾﹎+n種取法.我們可以對取出的球中所含白球個數(shù)進(jìn)行分類，一共可分為0，1，2，…p，這p+1類，每一類所對應(yīng)的取法數(shù)分別為C0璶C琾璵,C1璶C﹑-1璵,…,C﹑-1璶C1璵,C琾璶C0璵.由分類計數(shù)原理可得C0璶C琾璵+C1璶C﹑-1璵+…+C﹑-1璶C1璵+C琾璶C0璵=C琾﹎+n.

2.分割的思想

在立體幾何的球這一節(jié)中，球的體積公式V=43πR3與面積公式S=4πR2是其中最重要的兩個公式，這兩個公式的證明都運(yùn)用了分割以及求極限的思想，該思想在其他方面也有著廣泛的應(yīng)用.

例2 已知扇形的半徑為r，弧長為l.

求證：S┥刃為=12rl(不得借助于圓的面積公式來證明).

分析：在不得借助于圓的面積公式的前提下，要利用常規(guī)方法證明該公式顯然是十分困難的，然而借助于分割并求極限的思想?yún)s可使此問題迎刃而解.

證明：(1)如圖1所示將弧〢B分成n段，設(shè)它們的弧長分別是l1,l2,…,l璶，顯然，弧長l=l1+l2+…+l璶.連接OA1，OA2，…，OA﹏-1，整個扇形就被分割成n個小扇形，當(dāng)小扇形的弧非常短時，可以近似地將小扇形看作為等腰三角形，它們的高近似于扇形的半徑r.

(2)求近似和：設(shè)n個小扇形的面積分別為S1，S2，…，S璶，則S┥刃為=S1+S2+…+S璶.由于小扇形近似于三角形，我們可以用相應(yīng)三角形的面積，作為小扇形面積的近似值.設(shè)第i個三角形的底面邊長為l璱′，高為h璱，于是它的面積是S璱′=12?l璱′h璱,i=1,2,…，n.這樣就有S璱≈12l璱′?h璱以及S┥刃為≈12(l1′?h1+l2′?h2+…+l璶′?h璶)①

(3)化為準(zhǔn)確和：易知，將小扇形分割得越小，①式的精確程度就越高.如果分割無限加細(xì)，每一個小扇形都趨向于無窮小，那么h璱(i=1,2,…，n)就趨向于r，l璱′就向趨向于l璱.于是我們由①式得出S┥刃為的準(zhǔn)確值.S┥刃為=12?(l1?r+l2?r+…+l璶?r)=12r(l1+l2+…+l璶)=12rl.

可以看出，該公式的證明與球的表面積的證明有著異曲同工之妙.

3.裂項求和的思想

所謂裂項法，主要是在數(shù)列求和問題中，將其中的一項裂為兩項之差，在數(shù)列這一章，對于求數(shù)列a璶=1n(n+1)的前n項和S璶，絕大多數(shù)同學(xué)都已經(jīng)掌握了裂項求和的方法，即將a璶裂項為1n(n+1)=1n-1n+1之后再求和，并且又將其推廣到a璶=1n(n+i)=1i?(1n-1n+i)的情況.而我認(rèn)為還可以進(jìn)一步挖掘它的解題功能，最大限度地將其發(fā)揚(yáng)光大.

例3 已知數(shù)列{a璶}，其通項公式為a璶=1n(n+1)(n+2)，求其前n項之和S璶.

解：∵a璶=1n(n+1)(n+2)

=12?［(n+2)-n］n(n+1)(n+2)

=121n(n+1)-1(n+1)(n+2),

∴S璶=a1+a2+…+a璶

=1211?2-12?3+…+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)

=1212-1(n+1)(n+2)

=n(n+3)4(n+1)(n+2).

例4 已知數(shù)列{b璶}，其通項公式為b璶=n(n+1)，求其前n項之和T璶.

解：因為3=(n+2)-(n-1)，則b璶=

n(n+1)=13n(n+1)［(n+2)-(n-1)］=13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］，于是T璶=b1+b2+…+b璶=13(1?2?3-0?1?2)+13(2?3?4-1?2?3)+…+13［n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)］=13n(n+1)(n+2).

注：利用裂項求和的思想，可以解決與之相關(guān)的一類問題.

4.向量的思想

點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2是解析幾何中重要的公式之一，教材中對于該公式的證明多采用面積法，其實(shí)該公式還可以用向量法來證明.

如圖2所示，|PQ|是向量㏑P(R是直線l上任意一點(diǎn))在l的法向量n呱系耐隊.設(shè)∠RPQ=θ，則|PQ|=|㏑P遼?玞osθ，由向量數(shù)量積的定義可知：d=|㏑P遼?玞osθ=|㏑P?n遼|n遼，設(shè)法向量n=(A,B),R(x1,y1)，則㏑P=(x0-x1,y0-y1)，且Ax1+By1+C=0，從而可得：

d=|㏑P?n遼|n遼=|A(x0-x1)+B(y0-y1)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

向量作為一種常用工具，在數(shù)列、三角函

數(shù)、解析幾何、立體幾何中均有著廣泛地運(yùn)用.

例5 如圖3所示，拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

Fp2,0，則C-p2,y2，∴〧A=x1-p2,y1,〧B=x2-p2,y2且㎡A=(x1,y1),㎡C=-p2,y2.∵〧A哂氌〧B吖蠶擼∴x1-p2y2-x2-p2y1=0①.把x1=y212p,x2=y222p代入①式可得y1y2=-p2.

又∵x1y2+p2y1=y212p?y2+p2?y1=y1y22p?y1+p2y1=-p2?y1+p2?y1=0.∴㎡A哂氌㎡B呤槍蠶呦蛄浚即A，O，C三點(diǎn)共線，也就是說直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

“回顧以往的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往只注重‘知識點(diǎn)，可以說是千方百計地把知識點(diǎn)深化、強(qiáng)化，把一些不該發(fā)展的東西過于強(qiáng)化，卻不注意對數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的揭示，不注意促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，可謂是‘目中無人.”

由此可見在教學(xué)中，不僅要強(qiáng)調(diào)公式結(jié)論本身，而且應(yīng)該重視蘊(yùn)涵在公式證明中的數(shù)學(xué)思想，這是符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的精神的.這樣的教學(xué)可以使學(xué)生解決問題的能力得到本質(zhì)的提高，進(jìn)而能增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識與創(chuàng)新精神，使其受益終身.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗).北京：人民教育出版社，2003，4.

［2］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書.數(shù)學(xué)2.江蘇教育出版社，2004，8.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”