過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程的推導(dǎo)、拓廣及應(yīng)用

李鳳華

數(shù)學(xué)高考科《考試要求》對(duì)于圓這部分，要求在內(nèi)容上掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的參數(shù)方程；在能力上能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，利用待定系?shù)法求出圓的方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓有關(guān)的問(wèn)題.由此可知，求圓系方程的問(wèn)題無(wú)論是從方法上，還是從內(nèi)容上都是教學(xué)中必須注意的問(wèn)題.而這種問(wèn)題通常的表現(xiàn)形式是：過(guò)兩個(gè)已知圓的交點(diǎn)，又滿足另外一個(gè)條件求圓的方程.例如，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2第132頁(yè)習(xí)題4.2第4題“求圓心在直線x-y-4=0上，并且經(jīng)過(guò)圓x²+y²+6x-4=0與圓x²+y²+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程”，133頁(yè)第10題“求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，-2)以及圓x²+y²-6x=0與圓x²+y²=4交點(diǎn)的圓的方程”.對(duì)于這種題型，我們?nèi)舨捎孟冉夥匠探M求交點(diǎn)，再按待定系數(shù)法求解，運(yùn)算量大，過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò).但若用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程，便可避免解方程組，從而減少了運(yùn)算量，提高了解題速度和準(zhǔn)確率.但是在過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程的教學(xué)中，教師并不能從現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)中給學(xué)生一個(gè)合理的邏輯解釋，只是告訴學(xué)生方程表示圓，此圓過(guò)兩圓的交點(diǎn)，所以許多學(xué)生懷疑過(guò)交點(diǎn)的所有圓其方程都可表示為這種形式.因此本文就圓系方程問(wèn)題，從理論上給予證明和拓廣，并舉例說(shuō)明圓系方程的妙用.