一次函數(shù)中考壓軸題賞析

孟令中

在中考中，借助于一次函數(shù)知識解決實(shí)際問題的題目，屢屢出現(xiàn)，而且?guī)缀鹾w了所有的題型.下面以幾道中考壓軸題為例予以說明.

例1（2008年·南京）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地.兩車同時出發(fā).設(shè)慢車行駛的時間為x h，兩車之間的距離為y km.圖1中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究.

（1）甲、乙兩地之間的距離為 km.

（2）請解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義.

（3）求慢車和快車的速度.

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式，并寫出這時自變量x的取值范圍.

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇30 min后，第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時.

解析：圖中的折線是由三條線段組成的，三條線段各自表示一個一次函數(shù)關(guān)系，并且每一個函數(shù)自變量的取值范圍也都是確定的（因?yàn)榫€段有頭有尾）.

x軸上的數(shù)表示慢車行駛的時間，y軸上的數(shù)表示兩車之間的距離.知道了這些，我們就可以著手做題了.

（1）因?yàn)閥軸上的數(shù)表示兩車之間的距離，所以當(dāng)兩車出發(fā)時，即兩車行駛的時間為0 h時，對應(yīng)的縱坐標(biāo)就是甲、乙兩地之間的距離.所以讀取到的第一個信息是: 甲、乙兩地之間的距離為900 km.

（2）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，說明慢車開出了4 h；而縱坐標(biāo)為0，說明兩車之間的距離為0 km，即兩車相遇.所以圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車行駛4 h時，慢車和快車相遇.

（3）由圖象可知，慢車12 h行駛的路程為900 km，所以慢車的速度為 =75（km/h）.又當(dāng)慢車行駛4 h時，慢車和快車相遇，此時兩車行駛的路程之和為900 km.設(shè)快車的速度為v km/h，則75×4+v×4=900，解得v=150.所以快車的速度為150 km/h.

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式，需要知道點(diǎn)B、C的坐標(biāo).B點(diǎn)坐標(biāo)已知.C點(diǎn)隱含的一個重要信息是：快車已到達(dá)乙地.

根據(jù)題意，快車行駛900 km到達(dá)乙地，所以快車行駛 =6（h）后到達(dá)乙地.此時兩車之間的距離為6×75=450（km）.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，450）.

知道了B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法易求得線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=225x-900.自變量x的取值范圍是4≤x≤6.

（5）第二列快車與慢車相遇時，慢車行駛了4.5×75=337.5（km）.故第二列快車行駛了900-337.5=562.5（km），它的行駛時間為 =3.75（h）.這時，第一列快車已行駛了4.5 h，故第二列快車比第一列快車晚出發(fā)4.5-3.75=0.75（h）.

點(diǎn)評：本題既有明了的信息，也有隱含的、需要動腦筋尋找的信息，張弛有度，難易適中，是一道很好的一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題.雖然題目本身看似龐大、復(fù)雜，但只要一步一步地進(jìn)行分析，把列車運(yùn)行過程中的實(shí)際狀態(tài)與圖象中的各段對應(yīng)起來，就可逐步加以解決.

例2（2007年·吉林）今年4月18日，我國鐵路第六次大提速，在甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車.已知每隔1 h有一列動車組列車從甲城開往乙城，它們的速度相同.圖2中，OA表示的是第一列動車組列車與甲城的距離s（單位：km）和時間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系，BC表示的是一列從乙城開往甲城的普通快車與甲城的距離s（單位：km）和時間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖中信息，解答下列問題.

（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車發(fā)車時間比第一列動車組列車發(fā)車時間 h，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是 .

（2）請你在圖中直接畫出第二列動車組列車與甲城的距離s和時間t的函數(shù)圖象.

（3） 若普通快車的速度為100 km/h.

①求直線BC的解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

②求第二列動車組列車出發(fā)后多長時間與普通快車相遇.

解析：（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車發(fā)車時間比第一列動車組列車發(fā)車時間晚0.5 h.點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是甲、乙兩城相距300 km.

（2）第二列動車組列車與第一列動車組列車的行駛路程與行駛時間都是一樣的，只是發(fā)車時間相隔1 h，所以它們的函數(shù)的圖象是平行、“相等”的.其函數(shù)圖象如圖3中的線段MN所示（第二列較第一列晚出發(fā)1 h，晚1 h到達(dá)，所以MN∥AO）.

（3）①設(shè)直線BC的解析式為 s=kt+b.

∵B（0.5，300）， C（3.5，0），

∴由待定系數(shù)法可求得s=-100t+350.

自變量t的取值范圍是0.5≤t≤3.5.

②設(shè)直線MN的解析式為s=k1t+b1.

因M（1，0），N（3，300），故由待定系數(shù)法可求得s=150t-150.

BC與MN的交點(diǎn)的實(shí)際意義就是第二列動車組列車與普通快車的相遇.

∴150t-150=-100t+350.解得t=2.

因2-1=1，故第二列動車組列車發(fā)車1 h后與普通快車相遇.

點(diǎn)評：在畫線段MN時，端點(diǎn)要明確，莫畫成直線或射線.另外，題中已隱含了動車組列車與普通快車的速度：150 km/h和100 km/h.利用它們也可解題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文