從算術(shù)到代數(shù)的跨越

朱　珠

同學(xué)們知道算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別嗎？看看下文就知道了.

“算術(shù)”可以理解為“計算的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號替代數(shù)字”，即“數(shù)字符號化”.用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一件大事，是由算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁，也是代數(shù)與算術(shù)最顯著的區(qū)別.

在網(wǎng)絡(luò)上有一個十分有意思的小測試，通過這個小測試，馬上就可以知道你的年齡！超準(zhǔn)哦!我算過啦，真的很神奇，結(jié)果完全正確！快點來試試吧.（請一邊讀一邊做）

（1）首先，在1~7中間挑選一個數(shù)字；

（2）把這個數(shù)字乘以2；

（3）然后加上5；

（4）再乘以50；

（5）把得到的數(shù)加上1 758；

（6）用得到的這個數(shù)目減去你出生的那一年份，你會得到一個三位數(shù)，第一個位數(shù)（即百位數(shù)）是你一開始選擇的數(shù)字，接下來的兩位數(shù)就是你的年齡.

請注意，一定要耐心地算下來，結(jié)果一定會讓你大吃一驚！

其實這只是一個用字母表示數(shù)的簡單問題.若你把最開始挑選的那個數(shù)字設(shè)為x（1≤x≤7），則可以列出代數(shù)式（2x+5）×50+1 758，利用小學(xué)學(xué)過的乘法分配律，得到100x+2 008，用這個數(shù)減去你出生的那一年份所得到的三位數(shù)中，第一位數(shù)（即百位數(shù)）很明顯是你選擇的數(shù)字，后面兩位數(shù)不正是你的年齡嗎？

用字母表示數(shù)，有利于運用代數(shù)式揭示問題中的數(shù)量關(guān)系，便于找到數(shù)量的相等或不等關(guān)系.具有設(shè)元意識，會用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系，是由算術(shù)向代數(shù)過渡的重要步驟，是突破算術(shù)方法解決問題定式的關(guān)鍵.

同學(xué)們，還記得小時候你們學(xué)過的一首兒歌吧：

1只青蛙1張嘴，2個眼睛4條腿，1聲撲通跳下水；

2只青蛙2張嘴，4個眼睛8條腿，2聲撲通跳下水；

3只青蛙3張嘴，6個眼睛12條腿，3聲撲通跳下水.

那么，如果是許多只青蛙呢？對了，就是n只青蛙n張嘴，2n個眼睛4n條腿，n聲撲通跳下水.

從個別事物中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，這種研究問題的方法叫“歸納法”，這種方法體現(xiàn)著由特殊到一般的思維過程.

下面我再給大家出一道找規(guī)律的題目.

為了迎接國慶佳節(jié)的到來，某市綠城廣場擺放了許多盆鮮花.下面每個圖是有若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊（包括兩個頂點）有n（n>1，且n為正整數(shù)）盆花，每個圖案花盆的總數(shù)是S.

（1）按此規(guī)律推斷，當(dāng)每邊放有6盆花時，花盆的總數(shù)是 ；

（2）S與n的關(guān)系式是 ；

（3）當(dāng)n=10時，S= .

我們很容易作出每邊放有6盆花時的圖案，數(shù)一數(shù)就可以了，花盆的總數(shù)是15.下面來仔細(xì)推敲一下其中的規(guī)律.

從邊來看：每個圖案都是三角形，同一個圖案中每邊上的花盆數(shù)相同，但每個圖案中都會重復(fù)三個頂點.

如：當(dāng)n＝2時，花盆的總數(shù)為3×2－3；

當(dāng)n＝3時，花盆的總數(shù)為3×3－3；

當(dāng)n＝4時，花盆的總數(shù)為3×4－3.

所以當(dāng)每條邊上花盆數(shù)為n時，每個圖案花盆的總數(shù)為3×n－3＝3n－3.

從行來看：n表示花盆的行數(shù)，第一行的數(shù)量總是1，最后一行的數(shù)量總是每邊花盆的數(shù)量n，而中間的每行只有2個，中間的行數(shù)比每邊花盆的數(shù)量少2，即n－2，也就是說中間的花盆數(shù)為2（n－2）.

如：當(dāng)n＝2時，花盆的總數(shù)為1＋2+2×0；

當(dāng)n＝3時，花盆的總數(shù)為1＋3+2×1；

當(dāng)n＝4時，花盆的總數(shù)為1＋4+2×2.

所以當(dāng)每條邊上花盆數(shù)為n時，每個圖案花盆的總數(shù)為1＋n+2（n－2）=3n－3.

現(xiàn)在來求當(dāng)n=10時花盆的總數(shù)就容易多了，也就是27.

上述問題中的3個小題反映了我們認(rèn)識事物、探究問題的基本過程，第（1）小題是研究具體對象，第（2）小題是歸納出一般規(guī)律，第（3）小題是再運用這些規(guī)律去分析、研究和解決問題.

很早以前，非洲北部有一叫卡樂法特的地方，這里歸海早王管轄 .有一次海早王打敗了鄰部落，要求割地，鄰部落的酋長說：“割地，可以！請你用一塊狼皮去包圍一塊土地吧！”海早王有位聰明的妻子紀(jì)塔娜，她想出了一個好方法：她親自動手將狼皮剪成一條條很細(xì)的繩子，接起來圍成一個面積最大的圖形.同學(xué)們，你們先猜一猜，這個圖形是什么呢？有的同學(xué)可能猜的是圓，有的同學(xué)可能猜的是正方形，那么到底是誰的面積更大呢？

運用字母表示數(shù)，就可以把這個抽象的數(shù)學(xué)問題具體化.設(shè)這條繩子的長度為C，即圓與正方形的周長都為C，則圓的半徑為 ，正方形的邊長為 C，圓的面積為π 2= C2，正方形的面積為 C2= C2.

因 > ，故 C2> C2.因此，圓的面積較大，它比同周長的正方形所圍的面積還要大.

同學(xué)們學(xué)會用字母表示數(shù)了嗎？恰當(dāng)設(shè)元，運用代數(shù)關(guān)系，使書寫表達(dá)更加方便，運算過程更加清晰，這就是用字母表示數(shù)的優(yōu)勢.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文