從猜游戲看數(shù)到式的一個(gè)飛躍

作者簡(jiǎn)介：王繼延，理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學(xué)校長(zhǎng). 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員，全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書（華東師大版）常務(wù)副主編，教育部基礎(chǔ)司項(xiàng)目“全國(guó)初中畢業(yè)、升學(xué)考試評(píng)價(jià)”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材，如《全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書，在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

讀者朋友，我們又見(jiàn)面了.上次我們結(jié)交了有理數(shù)這位好朋友，現(xiàn)在就請(qǐng)王教授帶領(lǐng)我們一起見(jiàn)見(jiàn)新朋友——“式”.

你可要知道，這是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)飛躍，好多年之前中學(xué)里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，就有“代數(shù)”之說(shuō).代數(shù)，顧名思義，就是用字母代替數(shù).而現(xiàn)在有了式與式的運(yùn)算，以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容，你就會(huì)一路順風(fēng)啦！

現(xiàn)在先讓我們一起做一個(gè)猜數(shù)游戲：你隨便想一個(gè)一位正整數(shù)，擴(kuò)大1倍，加上1，再加上所得結(jié)果的一半，再乘以2.將你最后得到的結(jié)果告訴我，我就可以迅速地說(shuō)出你原來(lái)想的那個(gè)正整數(shù).你相信嗎？其中的道理么……還是讓我們從頭慢慢說(shuō)起吧，說(shuō)完了，你也就可以自己找到這個(gè)問(wèn)題的答案了.

你是否發(fā)現(xiàn)，有時(shí)需要用較為簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)一些對(duì)象.例如，我們可以說(shuō)出許多偶數(shù)：2、4、6……那么如果將偶數(shù)按從小到大的順序排列，你能否迅速報(bào)出第100個(gè)正偶數(shù)呢？總不能一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去吧.這時(shí)可這樣考慮，作為偶數(shù)，就是2的倍數(shù)，第一個(gè)正偶數(shù)2是2的1倍，第二個(gè)正偶數(shù)4是2的2倍，第三個(gè)正偶數(shù)6是2的3倍，如此類推，第n個(gè)正偶數(shù)應(yīng)該是2的n倍，可以簡(jiǎn)單地寫成2n的形式，那么第100個(gè)正偶數(shù)那就是2×100，即200.你看，這樣多簡(jiǎn)單！

以上表示的是2的倍數(shù)，我們還可以用字母表示一個(gè)一般的三位數(shù).若設(shè)a、b、c分別為一個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位上的數(shù)字，相信你一定可以將這個(gè)三位數(shù)表示為含有a、b、c的一個(gè)表達(dá)式 .

其實(shí)上面的表示方式，你在“有理數(shù)”一章里早就見(jiàn)過(guò).那時(shí)我們講到有理數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律，就是那樣寫的：若設(shè)a、b、c均為有理數(shù)，那么就可以用如下式子表示有理數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律： a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），ab=ba，（ab）c=a（bc），a（b+c）=ab+ac.

這里所認(rèn)識(shí)的以及你自己寫出來(lái)的一系列表達(dá)式，都是由數(shù)和字母用運(yùn)算符號(hào)連接所成的數(shù)學(xué)式子，它們就叫做“代數(shù)式”.

實(shí)際上，這樣的例子可以說(shuō)生活周圍處處存在，對(duì)于代數(shù)式這位朋友的認(rèn)識(shí)，就和平時(shí)生活中很多事情一樣，看到某一同學(xué)，就能知道他的名字；提起他的名字，就能想起他的面貌.因此，在學(xué)習(xí)中，還應(yīng)能夠結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于某些代數(shù)式作出相應(yīng)的解釋.如給出代數(shù)式 ，可以理解為：甲乙二人自相距50個(gè)單位長(zhǎng)度的兩地相向而行，而二人的速度分別為每小時(shí)a、b 個(gè)單位長(zhǎng)度，則 即為甲乙二人見(jiàn)面所需花費(fèi)的時(shí)間.想一想，還可以如何理解呢？

你現(xiàn)在可能已經(jīng)注意到，代數(shù)式的面貌有很多很多，我們現(xiàn)在所要研究的只是其中的整式，今后你還會(huì)與其他的代數(shù)式——分式、根式等等打交道呢.而整式是最簡(jiǎn)單的，也是最基本的代數(shù)式，它又可分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式.以后你會(huì)一個(gè)一個(gè)地認(rèn)識(shí)它們，熟悉它們的習(xí)性與脾氣.

如同你們走路一樣，整式的加減有一些必須要遵守的“交通法規(guī)”.由于字母所代表的就是數(shù)，所以整式的運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上就是數(shù)的運(yùn)算.因此整式的運(yùn)算，往往最后都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，所依據(jù)的都是數(shù)的運(yùn)算律.

例如，合并同類項(xiàng)，這是整式加減的基礎(chǔ).整式的加減運(yùn)算的根據(jù)就是數(shù)的運(yùn)算律（加法交換律、結(jié)合律以及乘法關(guān)于加法的分配律）.

又如去括號(hào)與添括號(hào)，就可以分別理解為括號(hào)前乘以＋1（括號(hào)前是“＋”號(hào)）、－1（括號(hào)前是“－”號(hào)），這樣就可以深入理解去括號(hào)與添括號(hào)的實(shí)質(zhì)了.

說(shuō)到這里，讓我們回過(guò)頭去，解開(kāi)當(dāng)初的游戲奧秘.

若設(shè)所想的數(shù)為x，那么運(yùn)算過(guò)程如下圖.

化簡(jiǎn)最后的結(jié)果，（2x+1）+ ×2= ×2=6x+3.你若告訴我最后的結(jié)果是45，那么所想的數(shù)肯定是……相信你，一定能夠自己算出最初所想的那個(gè)數(shù).

下面再給你提供一個(gè)數(shù)字游戲“有趣的（ 3x+1）問(wèn)題”，不過(guò)這是至今還沒(méi)有解開(kāi)奧秘的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也許你，也許你的小伙伴，經(jīng)過(guò)自己的努力，終究會(huì)攀上這個(gè)數(shù)學(xué)的高峰，摘下這顆光芒四射的數(shù)學(xué)明珠.

這個(gè)“（3x+1）問(wèn)題”是這樣的：請(qǐng)你隨意給出一個(gè)正整數(shù)x，若是奇數(shù)，按代數(shù)式3x+1求出對(duì)應(yīng)值；若是偶數(shù)，按代數(shù)式 求值.若第一步所得結(jié)果是奇數(shù)，則繼續(xù)按代數(shù)式3x+1求值；是偶數(shù)，則繼續(xù)按代數(shù)式 求值.若第二步……如此繼續(xù)下去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇妙的現(xiàn)象.請(qǐng)你用幾個(gè)不同的正整數(shù)，做做這個(gè)游戲，看看究竟有多么奇妙.

哈哈，你看，數(shù)學(xué)是多么的美！

最后用一句話結(jié)束我們今天的交流：在學(xué)習(xí)《整式的加減》時(shí)，牢記代數(shù)式中的字母是表示數(shù)的一個(gè)符號(hào)，理解了這一點(diǎn)，就會(huì)實(shí)現(xiàn)從數(shù)到式的一個(gè)飛躍，這或許就是理解掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)所在吧.

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