考慮控制飽和的衛(wèi)星姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)*

呂建婷，馬廣富，高 岱

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

1 引 言

在穩(wěn)定飛行階段，傳統(tǒng)的衛(wèi)星姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)采用全狀態(tài)反饋，即同時(shí)需要姿態(tài)信息和姿態(tài)角速度信息的測(cè)量，這方面的研究成果有許多[1,2]。在實(shí)際的航天工程中，角速率敏感器，尤其是高精度的敏感器，其費(fèi)用都是相當(dāng)昂貴的。另外當(dāng)安裝了高精度角速率敏感器時(shí)，如果敏感器工作失效，就無法繼續(xù)得到角速度信息。為降低衛(wèi)星研制成本，或作為角速率敏感器失效后的備份方法，越來越多的學(xué)者致力于研究輸出反饋控制方案[3,4]。

另一方面，當(dāng)系統(tǒng)的控制輸入發(fā)生飽和時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能降低，甚至導(dǎo)致整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。此時(shí)，如果不考慮飽和問題而設(shè)計(jì)控制器，閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是得不到保障的。近年來，諸多學(xué)者針對(duì)該問題也提出了許多設(shè)計(jì)控制器的方法[1～3,5]。

本文首先給出衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程以及由MRP描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，在控制飽和限制下，針對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定問題設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制兩種方案。所設(shè)計(jì)的控制方案，不依賴于衛(wèi)星的慣量參數(shù)，同時(shí)通過Lyapunov方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。最后對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)的控制算法是行之有效的。

2 衛(wèi)星數(shù)學(xué)模型

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為[6]

(1)

其中，ω=[ω1ω2ω3]T∈R3為星體相對(duì)于慣性空間角速度矢量在本體坐標(biāo)系中的分量；J∈R3×3為衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；u=[u1u2u3]T∈R3是三軸控制力矩矢量；對(duì)于?ζ=[ζ1ζ2ζ3]T∈R3，符號(hào)ζ×表示如下的斜對(duì)稱矩陣

由MRP參數(shù)σ描述的剛體衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(2)

其中，σ=[σ1σ2σ3]T∈R3，矩陣G(σ)定義如下：

這里I3表示3×3維單位矩陣，并且對(duì)于任意的ζ∈R3，定義ζ2=ζTζ。

3 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

首先給出如下兩個(gè)引理[7]。

φ(t)→0當(dāng)t→∞

如下定理給出了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的控制方案。

定理1.考慮由(1)、(2)描述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律為

(3)

證明.選取Lyapunov函數(shù)

(4)

計(jì)算V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，得到：

(6)

由于

ξTtanh(αξ)≥0,?α>0

(7)

根據(jù)矩陣σ的性質(zhì)及向量函數(shù)tanh(cα)的性質(zhì)

?c>0

(8)

定理2.考慮由(1)、(2)描述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)輸出反饋控制律為

u=-kpσ-kdGT(σ)tanh(ξ+kσ)

(9)

(10)

證明.選取Lyapunov函數(shù)

(11)

計(jì)算V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，得到

=-kpωTσ-kdωTGT(σ)tanh(ξ+kσ)+

(12)

因?yàn)?/p>

(13)

另外，由控制律(9)容易得到

‖u‖ ≤kp‖σ‖+kd‖G(σ)‖‖tanh(ξ+kσ)‖

(14)

至此，定理2得證。

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文提出的姿態(tài)穩(wěn)定控制方法的有效性，選擇如下衛(wèi)星參數(shù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

初始姿態(tài)、初始角速率ω分別取為

σ(0)=[0.3 0.2 -0.3]T

ω(0)=[0 0 0]T(rad/s)

考慮定理1提出的控制器，控制器參數(shù)選取為

um=0.2,kp=0.1，

λ=200,kd=0.2。

仿真結(jié)果如圖1～3所示，衛(wèi)星姿態(tài)、姿態(tài)角速度和控制輸出力矩變化曲線分別如圖1、2和3所示。由圖可以看出，控制方案能在有限的控制力矩限制條件下能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，能很好的完成姿態(tài)控制任務(wù)。

圖1 MRP變化曲線

圖2 角速度變化曲線

圖3 控制量變化曲線

考慮定理2提出的控制器，控制器參數(shù)取為

um=0.8，kp=0.1,kd=0.6,

k=25,α=0.1。

衛(wèi)星姿態(tài)、姿態(tài)角速度和控制輸出力矩變化曲線分別如圖4、5和6所示。由圖可以看出，在無需角速率反饋的情況下，所提出的控制方案也可以在有限的控制力矩限制條件下較好地完成姿態(tài)控制任務(wù)。

圖4 MRP變化曲線

圖5 角速度變化曲線

圖6 控制量變化曲線

由以上結(jié)果可知，通過數(shù)學(xué)仿真，分別針對(duì)定理1和定理2描述的控制方案進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明了所提出的狀態(tài)反饋和輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制方案是可行的和有效的。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)剛體衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定控制設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋和輸出反饋控制器。針對(duì)姿態(tài)控制中控制輸入飽和問題，本文通過引入雙曲正切函數(shù)并利用MRP參數(shù)自身的性質(zhì)很好地抑制了控制力矩的飽和問題。仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制方案很好地實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)控制，保證了閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。