探求冪的規(guī)律

漢　玲

七年級數(shù)學(xué)上冊教科書中“有理數(shù)的乘方”一節(jié)讓我們觀察例1進行思考：

當(dāng)指數(shù)是時，負(fù)數(shù)的冪是數(shù)；

當(dāng)指數(shù)是時，負(fù)數(shù)的冪是數(shù).

應(yīng)該怎么填呢？我們還是先來理解乘方的意義.

一、乘方的意義

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.這里，n個相同的因數(shù)a相乘即，記作an，讀作a的n次方.當(dāng)我們把an看成a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪.在an中，a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同因數(shù)的個數(shù). 乘方是因數(shù)相同的乘法運算，所以是一種特殊的乘法運算，是有理數(shù)乘法中的一種特殊情況.

明白了乘方的意義，我們再回過頭來考慮負(fù)數(shù)的冪的規(guī)律. 例如，我們來確定（-3）3和（-2）4的符號，怎么確定？我們知道，（-3）3中的指數(shù)3和（-2）4中的指數(shù)4都是因數(shù)的個數(shù).這就好辦了，我們把這兩個式子都表示成積的形式，（-3）3 = （-3）×（-3）×（-3），（-2）4 = （-2） ×（-2）×（-2）×（-2）.那么積的符號和負(fù)因數(shù)的個數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？我們回想一下，有理數(shù)的乘法有一個規(guī)律：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù).由此我們可以確定，（-3）3的符號為負(fù)，而（-2）4的符號為正. 更進一步，我們可以總結(jié)出如下規(guī)律：

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（1的正整數(shù)次冪等于1）；

0的任何正整數(shù)次冪都是0.

也許有的同學(xué)會思考：我見過（-3）3，但也見過-33，而且（-3）3 ＝ -33 ＝ － 27，那么它們是不是一樣的呢？下面我們就來比較一下它們的一般形式（-a）n與-an的異同.

二、（-a）n與-an的異同

1. 不同點

（1）讀法不同，（-a）n讀作“負(fù)a的n次方”， -an讀作“負(fù)的a的n次方”；

（2）底數(shù)不同，（-a）n的底數(shù)是-a，而-an的底數(shù)是a；

（3）意義不同，（-a）n表示n個-a相乘，即，而-an表示n個a的乘積的相反數(shù)，即- ；

（4）若a ≠ 0，則結(jié)果可能不同.當(dāng)n為奇數(shù)時，（-a）n = -an；當(dāng)n為偶數(shù)時，（-a）n一定為正數(shù)，而-an為負(fù)數(shù)，（-a）n ≠ -an.

2. 相同點

當(dāng)n為奇數(shù)或a = 0，n為正整數(shù)時，（-a）n = -an（僅是運算結(jié)果相同）.

當(dāng)n為偶數(shù)時，（-a）n與-an互為相反數(shù)，所以底數(shù)為負(fù)數(shù)時，要用括號把整個負(fù)數(shù)（連同負(fù)號）括起來，再在其右上角寫上指數(shù).如“-3的平方”要寫成（-3）2，而不能寫成-32.與此類似，底數(shù)為分?jǐn)?shù)時，也要用括號把整個分?jǐn)?shù)括起來，如“的平方”要寫成2，而不能寫成或.

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