等腰三角形中的一個定值

陳國玉

研究圖形，不能只記憶書本上的幾條定理，應(yīng)該將例題、習(xí)題中反映的性質(zhì)也納入自己的知識庫.解決問題的工具是什么？是圖形的性質(zhì)定理和判定定理.你手中的工具越多，分析問題和解決問題的速度就越快越準(zhǔn)確.建議同學(xué)們將學(xué)過的圖形進(jìn)行知識梳理，將它們在各個場合反映出來的性質(zhì)都整理出來，并深刻理解記憶.本文舉一個用這類知識解題和研究問題的例子，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.

命題：等腰三角形底邊上（或其延長線上）的任意一點，到兩腰上的距離之和（或差）等于一腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的任意一點，DE⊥AB于E點，DF⊥AC于F點，BG是腰AC上的高.

求證：BG=DE＋DF.

證明：連接AD.

∵S△ABC =S△ABD ＋S△ACD，

∴ AC?BG= AB?DE＋ AC?DF.

∵AB=AC，

∴ AC?BG= AC?DE＋ AC?DF.

即AC?BG=AC?（DE+DF）.

∴BG=DE＋DF.

即DE＋DF是一個定值，它等于腰上高的長.

如圖2，在△ABC中，已知AB=AC，D是底邊BC延長線上的任意一點，DE⊥AB于E點，DF⊥AC的延長線于F點，CG是腰AB上的高，則有DE－DF=CG.（請同學(xué)們完成證明）

即DE－DF是一個定值，它等于腰上高的長.

例1 如圖3，在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個動點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F點，則PE＋PF=.

分析： 因為四邊形ABCD是矩形，所以△OAD是等腰三角形，P點恰好是底邊AD上的任意一點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F點，根據(jù)命題，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在Rt△ABD中，利用面積就能求出AG的長.

解：作AG⊥BD于G點.

在Rt△ABD中，BD= = =5.

∵△ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，

∴S△ABD = AB?AD= BD?AG，AG= = .

由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即△OAD為等腰三角形.

∵P是底邊AD上的任意一點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F點，

∴PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .

例2 如圖4，在△ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一點，且BD=CD，過CB延長線上的任意一點P，作PE⊥AB的延長線于E點，PF⊥CD的延長線于F點.已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.

分析： 顯然△CDB為等腰三角形，P恰好是底邊CB延長線上的任意一點，且PE⊥DB的延長線于E點，PF⊥CD的延長線于F點.根據(jù)命題，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在Rt△ACD中，利用勾股定理表示出AC與AD的關(guān)系，再在Rt△ACB中利用勾股定理，即可求AC的長.

解：設(shè)AD=x，則BD=CD=3x.

在Rt△ACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.

在Rt△ACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.

解得x=2（負(fù)值已舍去）.所以AC=2 x=4 .

由BD=CD，知△CDB為等腰三角形.

根據(jù)命題，可得PF-PE等于AC的長，即PF－PE=4 .

點評：這類從習(xí)題中總結(jié)出來的命題，考試中可能不能當(dāng)定理使用，但對于分析圖形作用很大.等腰三角形還有其他性質(zhì)，比如，等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高相等，兩腰上的中線相等，底邊中點到兩腰上的垂線段相等，等等.

練習(xí)題

1. 如圖5，在△ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底邊BC延長線上的任意一點，且DE⊥BA的延長線于E點，DF⊥AC的延長線于F點，則DE－DF=.

（答案：2 cm）

2. 如圖6，已知正方形ABCD的邊長為2 cm，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交對角線BD于E點，連接CE. P是CE上的任意一點，且PM⊥BD于M點，PN⊥BC于N點，則PM＋PN=.（答案：cm）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>