例談分解因式的方法與技巧

朱元生

分解因式是一種重要的恒等變形，也是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段和工具．分解因式是中考和數(shù)學(xué)競賽中比較常見的題型.對于特殊的分解因式，除了考慮提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的方法和技巧.這樣不僅可使問題化難為易，化繁為簡，而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們的探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力.現(xiàn)將分解因式中幾種比較常用的方法與技巧列舉如下，供同學(xué)們參考.

一、巧拆項

在某些多項式的分解因式過程中，若將多項式的某一項（或幾項）適當(dāng)拆成幾項的代數(shù)和，再用基本方法分解，會使問題化難為易，迎刃而解.

例1 分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3．

解析：根據(jù)多項式的特點，把3拆成4＋（－1），則：

原式＝a2－b2＋4a＋2b＋4－1

＝（a2＋4a＋4）－（b2－2b＋1）

＝（a＋2）2－（b－1）2

＝（a＋b＋1）（a－b＋3）．

二、巧添項

在某些多項式的分解因式過程中，若在所給多項式中加、減相同的項，再用基本方法分解，也可出奇制勝.

例2 分解因式：x4＋4y4．

解析：根據(jù)多項式的特點，在x4＋4y4中添上4x2y2，－4x2y2兩項，則：

原式＝（x4＋4x2y2＋4y4）－4x2y2

＝（x2＋2y2）2－（2xy）2

＝（x2＋2xy＋2y2）（x2－2xy＋2y2）．

三、巧換元

在某些多項式的因式分解過程中，通過換元，可把形式復(fù)雜的多項式變形為形式簡單、易于分解的多項式，從而使問題化繁為簡，迅速獲解.

例3 分解因式：（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2.

解析：設(shè)x＋y＝m，xy＝n，則：

原式＝（m－2n）（m－2）＋（n－1）2

＝m2－2mn＋n2－2m＋2n＋1

＝（m－n）2－2（m－n）＋1

＝（m－n－1）2

＝（x＋y－xy－1）2

＝（x－1）2（y－1）2．

四、展開巧組合

若一個多項式的某些項是積的形式，直接分解比較困難，則可展開重組合，然后再用基本方法分解，使問題巧妙得解.

例4 分解因式： mn（x2＋y2）＋xy（m2＋n2）．

解析：將多項式展開再重新組合，則：

原式＝mnx2＋mny2＋xym2＋xyn2

＝（mnx2＋xym2）＋（mny2＋xyn2）

＝mx（nx＋my）＋ny（nx＋my）

＝（nx＋my）（mx＋ny）．

五、巧設(shè)主元

對于含有兩個或兩個以上字母的多項式，若無法直接分解，常以其中一個字母為主元進行變形整理，可使問題柳暗花明.

例5 分解因式：a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＋2abc．

解析：這是一個輪換對稱多項式，不妨以a為主元進行整理 ．

a2b＋ab2＋a2c＋ac2＋b2c＋bc2＋2abc

＝a2（b＋c）＋a（b2＋2bc＋c2）＋bc（b＋c）

＝a2（b＋c）＋a（b＋c）2＋bc（b＋c）

＝（b＋c）［a2＋a（b＋c）＋bc］

＝（b＋c）（a2＋ab＋ac＋bc）

＝（b＋c）［a（a＋b）＋c（a＋b）］

＝（a＋b）（a＋c）（b＋c）．

從以上幾例可以看出，分解因式題型眾多，解法靈活，有較強的技巧性.若能根據(jù)多項式具體的結(jié)構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅc技巧，不僅可以化難為易，迅速求解，而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維.

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