分式的基本性質(zhì)及應(yīng)用

莊億農(nóng)

[一、基本性質(zhì)的剖析]

分式的分子和分母都乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，即 = ， = （M是不等于0的整式）.從形式上看，分式的基本性質(zhì)與小學(xué)學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)幾乎是一樣的，學(xué)習(xí)起來(lái)不會(huì)有多大困難，但要真正理解和掌握，必須注意從三個(gè)方面去把握.

1． 基本性質(zhì)中的A、B、M表示整式，實(shí)際上隨著知識(shí)的不斷擴(kuò)充，A、B、M還可以代表任何代數(shù)式（B、M不等于0）.

2． 基本性質(zhì)中的B ≠ 0是已知條件中的隱含條件，在解題過(guò)程中一般不需要強(qiáng)調(diào)，M ≠ 0這個(gè)條件千萬(wàn)不能忽略.在算術(shù)中講到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)時(shí)，雖然也要求M ≠ 0，但在運(yùn)用中我們是不會(huì)用0去乘（或除）分?jǐn)?shù)的分子與分母的，所以這個(gè)條件常常不被引起重視，而在分式中，M是一個(gè)含有字母的代數(shù)式，由于字母的取值可以是任意的，故M就有取0的可能性.因此，我們?cè)趹?yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)分析M的值是否為0，養(yǎng)成隨時(shí)注意應(yīng)在什么條件下應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)的習(xí)慣.

3． 基本性質(zhì)由六部分構(gòu)成：（1）分式的分子和分母；（2）都乘（或除以）；（3）同一個(gè)；（4）不等于0；（5）整式；（6）分式的值不變.其中前五個(gè)是條件，第六個(gè)是結(jié)論.要注意條件中的“都”、“同一個(gè)”、“不等于0”和“整式”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語(yǔ)，它們保證了“分式的值不變”這一結(jié)論.

[二、基本性質(zhì)的應(yīng)用]

1． 對(duì)一個(gè)由分式構(gòu)成的等式從左到右進(jìn)行變形.

例1填空：

（1） = .（2） = .

分析：（1）右邊的分母a2b是左邊的分母ab乘a得到的，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，右邊的分子應(yīng)是左邊的分子乘a，即a（a - b） = a2 - ab.（2）右邊的分子x + y是左邊的分子x2 + xy除以x得到的，故右邊的分母應(yīng)是左邊的分母除以x，即x2 ÷ x = x.

解：（1） = .（2） = .

點(diǎn)評(píng)：解這類題時(shí)，要認(rèn)真比較等式兩邊分式的分子和分子、分母和分母的關(guān)系，看它們同乘（或除以）了什么樣的整式.切記變形前后分式的值保持不變.

2． 把分式中各項(xiàng)的分?jǐn)?shù)、小數(shù)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù).

例2將下列分式中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù).

（1） .（2） .

分析：（1）中各項(xiàng)的系數(shù)都是小數(shù)，觀察特點(diǎn)可知，只要將分子和分母同乘10就行了.（2）中各項(xiàng)的系數(shù)都是分?jǐn)?shù)，它們分母的最小公倍數(shù)是12，所以只要將分式的分子和分母同乘12就解決問(wèn)題了.

解：（1）== .

（2）== .

點(diǎn)評(píng)：解這類題時(shí)，要根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.通常情況下，若各項(xiàng)系數(shù)都是分?jǐn)?shù)，可以把分式的分子和分母同乘各項(xiàng)系數(shù)的所有分母的最小公倍數(shù)；若各項(xiàng)系數(shù)都是小數(shù)，可以根據(jù)具體情況，把分子和分母同乘10n；若各項(xiàng)系數(shù)不統(tǒng)一，有分?jǐn)?shù)系數(shù)又有小數(shù)系數(shù)，要先化統(tǒng)一，再解題.

3． 改變分式的分子、分母的符號(hào).

例3下列各等式正確的是（）.

A．= B．=

C．= 1 D． -=

分析：A中同時(shí)改變分式的分子、分母的符號(hào)，相當(dāng)于把分式的分子、分母同乘－1，分式的值不變，故A正確；B中改變符號(hào)后分母應(yīng)為 － x + y，不能只改變其中一項(xiàng)的符號(hào)，故B是錯(cuò)的；C中分子應(yīng)為－ （- x + y），顯然等式不成立；D中（y - x）2 = （x - y）2，分子、分母同除以x － y后不應(yīng)改變分式本身的符號(hào)，故D也是錯(cuò)的.

解：應(yīng)選A．

點(diǎn)評(píng)：利用分式的基本性質(zhì)可以對(duì)一個(gè)分式的分子、分母的符號(hào)進(jìn)行變化，即同時(shí)改變分式的分子和分母的符號(hào)，分式的值不變.

4． 對(duì)分式進(jìn)行約分.

例4約分：.

分析：首先將分子、分母中的每一個(gè)因式的最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后再對(duì)每一個(gè)能分解因式的多項(xiàng)式進(jìn)行分解，利用分式的基本性質(zhì)約去分子、分母中的相同因式.

解： =

=

=

= .

點(diǎn)評(píng)：將分式約分時(shí)，若分子、分母都是單項(xiàng)式，則公因式取相同字母的最低次冪與系數(shù)的最大公約數(shù)的積；若分子、分母是多項(xiàng)式或含多項(xiàng)式的因式積，則應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式，再約去相同因式.

5． 對(duì)分式進(jìn)行通分.

例5通分：，，.

分析：先將每個(gè)分式的分母分解因式，然后確定最簡(jiǎn)公分母.因?yàn)?a + 2 = 2（a + 1），a2 - a - 2 = （a + 1）（a - 2），4 - 2a =- 2（a - 2），所以最簡(jiǎn)公分母為2（a + 1）（a - 2）.

解：∵最簡(jiǎn)公分母為2（a + 1）（a - 2），

∴ == ，

==，

= .Y