軸對(duì)稱問(wèn)題“錯(cuò)解集中營(yíng)”

張海生

在軸對(duì)稱問(wèn)題中，容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，本文中作者想通過(guò)幾個(gè)例題簡(jiǎn)單分析一下同學(xué)們出現(xiàn)的幾個(gè)“小錯(cuò)誤”，以期幫助同學(xué)們找出錯(cuò)誤原因，在解題時(shí)避免類似的問(wèn)題發(fā)生.

一、混淆軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形概念

例1圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形是同一個(gè)概念嗎？

錯(cuò)解：軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形是一回事，都是關(guān)于某條直線對(duì)稱．

錯(cuò)解分析：產(chǎn)生上述錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的原因顯然是對(duì)軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形這兩個(gè)概念的含義未能正確理解．（1）軸對(duì)稱反映的是兩個(gè)圖形之間的形狀和位置關(guān)系，而軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形自身的性質(zhì)；（2）軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上，而軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱點(diǎn)都在同一個(gè)圖形上．當(dāng)然，如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱；如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．

正確解答：軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同的概念，但這兩個(gè)概念之間又有著密切的聯(lián)系．（1）“軸對(duì)稱”是“關(guān)系”，“軸對(duì)稱圖形”是“圖形”．（2）通常說(shuō)“某兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱”或“某兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”，“某一圖形是軸對(duì)稱圖形”．（3）兩概念的聯(lián)系點(diǎn)是：“某兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”是指沿一直線折疊，直線兩邊的兩個(gè)圖形重合，軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形在這條對(duì)稱軸兩邊的兩部分重合．

二、錯(cuò)將軸對(duì)稱與全等畫等號(hào)

例2如圖1，判斷△ABC與△A′B′C的關(guān)系．

錯(cuò)解：△ABC和△A′B′C對(duì)稱．

錯(cuò)解分析：說(shuō)兩個(gè)圖形對(duì)稱，必須說(shuō)它們關(guān)于哪條直線對(duì)稱．在圖1中，△ABC和△A′B′C關(guān)于直線l2不對(duì)稱．實(shí)質(zhì)上，全等只是從圖形的形狀相同、大小相等兩個(gè)方面揭示了兩個(gè)圖形的關(guān)系，而軸對(duì)稱是從形狀相同、大小相等、位置關(guān)于某條直線對(duì)稱三個(gè)方面揭示了兩個(gè)圖形的關(guān)系．

正確解答：△ABC和△A′B′C關(guān)于直線l1對(duì)稱．

三、漏找、錯(cuò)找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸

例3求線段、角、等腰三角形、正方形、圓的對(duì)稱軸條數(shù)．

錯(cuò)解：線段的對(duì)稱軸有一條，是它的垂直平分線；角的對(duì)稱軸有一條，是它的平分線；等腰三角形的對(duì)稱軸有一條，是底邊的垂直平分線；正方形的對(duì)稱軸有兩條，是兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連線；圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條，是它的直徑．

錯(cuò)解分析：（1）圖形的對(duì)稱軸是直線，而不是線段；

（2）線段的對(duì)稱軸有兩條，正方形的對(duì)稱軸有四條，等腰三角形的對(duì)稱軸有一條或三條．

正確解答：線段的對(duì)稱軸有兩條，是線段的垂直平分線和它所在的直線；角的對(duì)稱軸有一條，是角平分線所在的直線；等腰三角形的對(duì)稱軸有一條或三條，是底邊的垂直平分線；正方形的對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在直線和過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線；圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條，是過(guò)圓心的直線（或直徑所在的直線）．

四、關(guān)于軸對(duì)稱與關(guān)于直線對(duì)稱混淆

例4求點(diǎn)P（2，-5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．

錯(cuò)解：點(diǎn)P（2，-5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-5）．

錯(cuò)解分析：上述錯(cuò)解的產(chǎn)生是因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)不清楚．

正確解答：點(diǎn)P（2，-5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，5）．

五、對(duì)于無(wú)圖問(wèn)題，考慮欠周全，造成漏解

例5等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．

錯(cuò)解：如圖2，由題設(shè)知，∠ACD=45°，故∠A=45°.

錯(cuò)解分析：就此題而言，等腰三角形一腰上的高既可以在等腰三角形內(nèi)，也可以在等腰三角形外，需分類討論．

正確解答：①當(dāng)高在等腰三角形內(nèi)部時(shí)，如圖2，由題設(shè)知，∠ACD=45°，故∠A=45°.

②當(dāng)高在等腰三角形外部時(shí)，如圖3，由題設(shè)知，∠ACD=45°.故∠DAC=45°，故∠BAC=180°-45°=135°.

故此等腰三角形的頂角為45°或135°．