我的新“發(fā)現(xiàn)”

陳　聰

在剛學(xué)等腰三角形時，老師總是強調(diào)等腰三角形的性質(zhì)與判定非常重要，開始你可能還不以為然，當(dāng)你拿起筆來做題時，就會發(fā)現(xiàn)你的解題速度慢了許多.陳聰同學(xué)就遇到了這個問題，可是，他在老師的“只要肯動腦，及時總結(jié)，相信你一定能行”的語言的鼓舞下，在同學(xué)們相互交流中，他漸漸地發(fā)現(xiàn)了一些判定等腰三角形的“小竅門”，一試還挺管用呢，大家一起來看看吧.

竅門1：角平分線+垂直=等腰三角形

例1如圖1，在△ABC中，AD為角平分線，且AD⊥BC，垂足為D，試猜想BC與BD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

思路分析：由題意可知，AD既為∠BAC的平分線，又是BC邊上的中線，很像等腰三角形中的“三線合一”性質(zhì)，故只要能證明△ABC為等腰三角形，便可猜想結(jié)論，已知兩角及夾邊（公共邊）相等，故可用“角邊角”證△ADB≌△ADC.

解：BC=2BD，理由如下：

∵AD為角平分線，

∴∠BAD=∠CAD.

∵AD⊥BC，

∴∠BDA=∠CDA=90°.

∵在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，

AD=AD，

∠BDA=∠CDA，

∴△ABD≌△ACD（ASA）.

∴AB=AC.

∵AD⊥BC，

∴BD=CD.

即BC=2BD.

教師點評：當(dāng)三角形中一線既為一角的平分線，又是一邊上的垂線時，由全等易證此三角形為等腰三角形，然后得出結(jié)論.當(dāng)然此題也可由兩個三角形全等直接得到結(jié)論.

竅門2：角平分線+平行=等腰三角形

例2如圖2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E.求證：DE=BD+EC.

思路分析：要證DE=DB+EC，而DE=DF+EF（即要證DF+EF=BD+EC），只要證DF=BD，EF=CE，故轉(zhuǎn)化為證△BDF和△CEF為等腰三角形.由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”易證同一三角形中的兩角相等.

證明：∵BF為∠ABC的平分線，

∴∠DBF=∠CBF.

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠CBF.

∴∠DBF=∠DFB.

∴BD=FD.

同理EC=EF.

∴BD+EC=FD+EF.

即BD+EC=DE.

教師點評：若過角平分線上的一點作一邊的平行線，與另一邊相交，則構(gòu)成的三角形為等腰三角形.

竅門3：垂直+線段平分=等腰三角形

例3如圖3，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，EF⊥AD，AE=DE，求證：∠B=∠FAC.

思路分析：要證∠B=∠CAF，已知∠BAD=∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，因而只要證∠FAD=∠FDA，故只需證△FAD為等腰三角形.由EF⊥AD，AE=DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得FA=FD.

證明：∵AD為∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD.

∵EF⊥AD，AE=DE，

∴FA=FD.

∴∠FAD=∠FDA.

又∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，

∴∠B=∠FAC.

教師點評：若三角形一邊上的垂線同時平分這條邊（即為一邊的垂直平分線），由線段垂直平分線的性質(zhì)易證此三角形為等腰三角形.