再保險(xiǎn)對(duì)帶干擾Ｐｏｉｓｓｏｎ風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)時(shí)間的影響

馬　馳　張洪濤

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽淮南232001）

摘要： 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)中保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)行為，建立一類理賠額受限的帶干擾Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型， 運(yùn)用鞅論的方法，分析再保險(xiǎn)方式對(duì)該風(fēng)險(xiǎn)模型資金盈余首次到達(dá)0時(shí)刻的影響，得到它的 矩母函數(shù)和數(shù)學(xué)期望，并通過與不采用再保險(xiǎn)方式的帶Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型資金盈余首次到達(dá)0 的期望時(shí)間的比較，發(fā)現(xiàn)再保險(xiǎn)方式是分散保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的非常有效的一種途徑。

關(guān)鍵詞：鞅；再保險(xiǎn)；風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)時(shí)間；停時(shí)

中圖分類號(hào)：O211.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A[WT]文章編號(hào)：16721098(2008)02007803

The Influence of Reinsurance on Bankruptcy Time

of Poisson Risk Model with Diffusion

MA Chi，ZHANG Hongtao

(School of Sciences, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 2 32001, China) Abstract: According to business practice of insurance companies, a kind of Poiss on risk model with diffusion with claim limitation was established. By martingal e method the influence of reinsurance ways on the time of companys surplus fun ds firstly reaching zero was analyzed. Its generation function and mathematicalexpectation were obtained. By comparison with the time of companys surplus fun ds firstly reaching zero for the risk model without reinsurance it was found tha t reinsurance is a very effective way for insurance companies to disperse risk.

Key words:martingale; reinsurance; risk model; bankruptcy ti me; stopping time

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，一次事故可能造成的物質(zhì)損毀和人生傷亡的損 失程度不斷擴(kuò)大，損失較大的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)若由單個(gè)保險(xiǎn)人來履行賠償責(zé)任，很可能導(dǎo)致保險(xiǎn)人 的財(cái)務(wù)困難，甚至破產(chǎn)。因此，對(duì)保險(xiǎn)公司而言，尋求分散風(fēng)險(xiǎn)的有效方法是至關(guān)重要的。 一般而言，再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的較有效的方法。再保險(xiǎn)是指保險(xiǎn)人在原保險(xiǎn)合同的 基礎(chǔ)上通過簽訂在保險(xiǎn)合同，將其承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任部分或全部轉(zhuǎn)嫁給其它保險(xiǎn)人的經(jīng)營(yíng)活 動(dòng)。保險(xiǎn)公司通過多種再保險(xiǎn)方式達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)、擴(kuò)大承保能力、提高經(jīng)濟(jì)效益等目的，而 風(fēng)險(xiǎn)的分散必然增強(qiáng)保險(xiǎn)公司的生存能力，降低其破產(chǎn)的可能性。

文獻(xiàn)［1］討論分析了理賠額受限下的風(fēng)險(xiǎn)過程破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程，并考慮了三 種特殊情形下的破產(chǎn)概率，即： ① 在理賠時(shí)考慮免賠額；② 考慮賠償限額；③ 同時(shí) 考慮免賠額與賠償限額。

然而在現(xiàn)實(shí)生活中，保險(xiǎn)公司的“破產(chǎn)”行為發(fā)生的可能性非常小的。對(duì)保險(xiǎn)公司而言，他 們更關(guān)心的是公司需要多長(zhǎng)時(shí)間資金盈余達(dá)到一給定數(shù)值［23］。本文提出一類理 賠額受限的帶干擾Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，分析再保險(xiǎn)對(duì)破產(chǎn)時(shí)間的影響以及風(fēng)險(xiǎn)資金盈余過程 需要多長(zhǎng)時(shí)間首次到達(dá)0。這個(gè)時(shí)間對(duì)保險(xiǎn)公司是非常重要的，因?yàn)橐坏┕镜馁Y金盈余達(dá) 到零，公司將面臨破產(chǎn)的危險(xiǎn)。此時(shí)，公司需要采取相應(yīng)的措施以防止破產(chǎn)行為的發(fā)生。

1風(fēng)險(xiǎn)模型的建立

考慮如下的風(fēng)險(xiǎn)模型

U(t)=u+ct-∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)]Yi+ηW(t)(1)

式中：玼為公司初始資本；玞為公司單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入；玁(t)表示(0,玹 )時(shí)間段內(nèi)的索賠次數(shù)，且是強(qiáng)度為λ的齊次Poisson過程；｛W(t),t≥0｝為一維 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)過程，它代表著公司保費(fèi)收入中的不確定部分，η是一個(gè)數(shù)；玒i為第i次理賠額，且滿足

Yi=[JB(｛]XiXi≤MXi-ZiXi＞M[JB)]

其中：玀為賠償限額；｛Xi,i≥1｝為獨(dú)立同分布取正值的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為F( x)，且EX1=μ1；｛Zi,i≥1｝為獨(dú)立同分布取正值的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為G(z) ，且EZ1=μ2；模型中｛Xi,i≥1｝、｛Zi,i≥1｝、｛N(t),t≥0｝與｛W(t),t≥0 ｝是相互獨(dú)立的。

為保證保險(xiǎn)公司正常的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)， 假設(shè)玞-λ(μ1+μ2)＞0，即保費(fèi)收入總 是大于理 賠。ビ捎謨余過程｛U(t),t≥0｝是自由跳動(dòng)的，故對(duì)于任意給定的水平x，盈余過程將 不止一次到達(dá)水平x。

令玊x=玦nf｛t,U(t)=x｝，即保險(xiǎn)公司資金盈余首次到達(dá)給定的x的時(shí)刻。顯然Tx 是一個(gè)停時(shí)［4］。特別地，保險(xiǎn)公司尤其關(guān)心的是公司資金盈余首次到達(dá)0的時(shí)刻， 即T0。

2主要結(jié)果

模型式(1)中，保險(xiǎn)公司是通過理賠額受限的方式把部分風(fēng)險(xiǎn)分散給了投保人。分散的理賠 額要取決于條件玐i＞M。

令Ri=Ziχ(Xi＞M)

則模型式(1)可改寫成

U(t)=u+ct-∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)]Xi+∑[DD(]N(t)[]i=1[DD)] Ri+ηW(t)(2)

其中｛Xi,i≥0｝、｛Ri,i≥0｝、｛N(t),t≥0｝與｛W(t),t≥0｝ 是相互獨(dú)立的。

定理1對(duì)于任意常數(shù)玶,s，有

模型。采用上述方法可以求出資金盈余到達(dá)0時(shí)刻玊0的期望為

ET0=[SX(]ue-Ru[]λM′X(R)+η2R-c[SX)]

顯然這個(gè)數(shù)值要比采用再保險(xiǎn)方式計(jì)算出的數(shù)值要小，因此再保險(xiǎn)方式是保險(xiǎn)公司分散經(jīng)營(yíng) 風(fēng)險(xiǎn)的一種有效途徑。

參考文獻(xiàn)：

［1］何樹紅，夏梓祥.再保險(xiǎn)對(duì)時(shí) 間盈余風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的影響［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然版），2004, 26(S):14.［2］高明美，趙明清.雙Poisson模型下盈余首次到達(dá)給定水平的時(shí)間分析［ J］.應(yīng)用數(shù)學(xué), 2002,15(S):170172.

［3］雷曉玲，劉再明.帶干擾雙Poisson模型盈余首達(dá)時(shí)間分析［J］. 數(shù)學(xué)理論 與應(yīng)用,2005,25(2):7982.

［4］GRANDELL J. Aspects of Risk Theo ry［M］.New York: Springerverlag,1991：3257.(責(zé)任編 輯：何學(xué)華)