相似三角形的預(yù)備定理的證明和建議

趙國(guó)鈞

多年來(lái)，在初中數(shù)學(xué)的新老三種教材（人教版）中，雖然相似三角形的預(yù)備定理“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的內(nèi)容沒變，可三種教材對(duì)預(yù)備定理的處理方法卻完全不同.

一、師生共惑

新教材九年級(jí)下冊(cè)第27章2.1節(jié)《相似三角形的判定》中，針對(duì)預(yù)備定理特別加注一句說(shuō)明：“這個(gè)定理是可以證明的，這里略去”.有學(xué)生看到后，舉手提問(wèn)：“老師，課本上說(shuō)預(yù)備定理可以證明，怎樣證明它呢？”是啊，公理和推論沒有證明，定理怎么也不證明？

二、探索預(yù)備定理的證法

1．三種教材對(duì)預(yù)備定理的處理方法

怎么給學(xué)生滿意地解釋呢？我首先想到的是老教材的證明方法：先證明平行線等分線段定理，再證明平行線分線段成比例定理，然后再證明預(yù)備定理.僅“成比例定理”的證明就占用近2頁(yè)版面，冗長(zhǎng)、抽象，學(xué)生很難理解.過(guò)渡教材僅對(duì)“當(dāng)AD:DB=2:3，DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ABC（如圖1）”這個(gè)特例進(jìn)行了驗(yàn)證，而新教材也采取類似的方法只對(duì)“當(dāng)AD=DB，DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ABC（如圖1）”這個(gè)特例進(jìn)行了證明，然后就草率地給出了預(yù)備定理，并強(qiáng)調(diào)說(shuō)它可以證明（但沒有進(jìn)行證明），這種處理方法不具有完備性，所以學(xué)生會(huì)要求給出證明的過(guò)程.

2．尋找新證法

三、預(yù)備定理的證明和建議

從前面的探討中，我們已發(fā)現(xiàn)：利用面積可以轉(zhuǎn)化出三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的方法，下面我們證明預(yù)備定理.

已知：在△ABC中，DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E.求證：△ADE∽△ABC.

1．添加四條輔助線的證法.

證明：如圖1，連接BE、DC.

由于DE∥BC，于是可得∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠ABC，并且S２＝S△DEC.

又因∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC.

2．關(guān)于預(yù)備定理的建議

可以看出，本文列舉的證法，遠(yuǎn)比老教材對(duì)預(yù)備定理的證明篇幅短且合理，很輕松地解決了師生對(duì)“這里略去”證明的困惑，彌補(bǔ)了預(yù)備定理“無(wú)”證明的缺陷.它們與新教材“當(dāng)AD=DB時(shí)△ADE∽△ABC”特例的證明的難易程度很接近，學(xué)生很容易接受和掌握.既然預(yù)備定理有這么簡(jiǎn)單且容易理解的證明方法，因此特提出以下建議：（1）刪除27章2.1節(jié)中對(duì)“當(dāng)AD=DB，DE∥BC時(shí)△ADE∽△ABC”特例的證明，將其改為練習(xí)；（2）若設(shè)置預(yù)備定理，則應(yīng)增補(bǔ)27章2.1節(jié)中對(duì)預(yù)備定理的證明.

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