函數(shù)與方程思想應(yīng)用面面觀

斯理炯

函數(shù)思想即用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)與變化的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，方程思想是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系的一種重要手段，兩者聯(lián)系密切，滲透于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，歷年高考試題中都會(huì)有一些設(shè)計(jì)新穎的問(wèn)題，解題時(shí)往往需要用到函數(shù)與方程思想，本文舉例分析函數(shù)與方程思想在解決各類問(wèn)題中的應(yīng)用，

一、在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

等與不等是相輔相成的，在解某些不等式的過(guò)程中，往往需要將不等轉(zhuǎn)化成等，建立相應(yīng)的方程，從方程的根來(lái)考慮不等式解集的臨界值。稱性證明了不等式，巧妙別致。

二、在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用非常廣泛，等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的公式分別可以看成是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)和二次函數(shù)，而等比數(shù)列又與指數(shù)函數(shù)密切相關(guān)，

例3設(shè)等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)之和為s_n已知a₃，S₁₃<0，

(1)求公差d的取值范圍；(2)指出s₁，s₂s₁₂中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的性質(zhì)證明有關(guān)數(shù)列的性質(zhì)(如單調(diào)性、有界性)和不等式，是近幾年高考考查的熱點(diǎn)，此外，借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性已成為高考中又一道靚麗的風(fēng)景，

例7兩位對(duì)講機(jī)持有者莉莉和霍伊在同一公司工作，已知對(duì)講機(jī)的接收范圍為25km，下午3時(shí)，莉莉正在公司正東面距公司30kin以內(nèi)的某處，霍伊此時(shí)正在公司正北面距公司40kin以內(nèi)的某處，問(wèn)在下午3時(shí)他們能夠通過(guò)對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？(本題對(duì)本屆高三同學(xué)不作要求)

解析：設(shè)X和Y分別代表下午3時(shí)莉莉和霍伊與基地之間的中距離，且D≤X≤30，0≤y≤40則分別

四、在何問(wèn)題中的應(yīng)用

立體幾何與解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，運(yùn)用函數(shù)與方程思想，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、建立等量關(guān)系，就能利用代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決此類問(wèn)題。

例8一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，對(duì)應(yīng)的方程為x²=2y(O≤y≤20)，若在杯內(nèi)放一玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍為

(A)O

(C)O

解析：考慮到球心到球面上各點(diǎn)的距離相等，由對(duì)稱性可知，球心必在拋物線的對(duì)稱軸(即y軸)上，

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是建立關(guān)于變量α的函數(shù)關(guān)系式，把求MN的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值。