海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)彈塑性整體計(jì)算的裂紋柱殼新單元

1 引 言

以柱殼為基本構(gòu)件的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)常見于海洋工程等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)物中。由于柱殼良好的綜合性能，船舶與海洋工程的各種平臺(tái)大多將其作為主體結(jié)構(gòu)。通常此類平臺(tái)造價(jià)昂貴，平臺(tái)上載有各種專用設(shè)備并有較多的人員在平臺(tái)上工作，因此一旦發(fā)生重大安全事故，將可能造成巨大的生命財(cái)產(chǎn)損失，甚至導(dǎo)致海洋環(huán)境的嚴(yán)重污染和社會(huì)層面上的連鎖負(fù)面反應(yīng)；另一方面，海洋平臺(tái)在服役期間長(zhǎng)期處于較為惡劣的環(huán)境之中，盡管平臺(tái)的安全性設(shè)計(jì)要求非常高，但歷史事實(shí)表明也未能完全避免災(zāi)難性事故的發(fā)生。應(yīng)該說在安全系數(shù)較大的前提下，一般意義上的強(qiáng)度或失穩(wěn)破壞不易發(fā)生，但究其原因，一個(gè)重要的問題是未充分考慮無法回避的自身的隱傷或服役期間所產(chǎn)生的損傷、破損等因素的影響。由于各種交變疲勞載荷的長(zhǎng)期沖擊，裂紋損傷是各種損傷中最常見且最危險(xiǎn)的一種損傷形式。

另一方面，如何從結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的角度判斷在裂紋損傷條件下的安全度，正確評(píng)估結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的殘余壽命，科學(xué)地制定保護(hù)維修方案，有效進(jìn)行裂紋控制，是精確評(píng)估平臺(tái)安全性的一個(gè)重要課題。很明顯,只有實(shí)現(xiàn)裂紋損傷條件下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體分析才能回答上述相關(guān)問題，但用現(xiàn)行的傳統(tǒng)方法無法得到滿意的答案。對(duì)于“裂紋”也許會(huì)首先想到“斷裂力學(xué)”；而涉及到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)或許會(huì)想到“結(jié)構(gòu)力學(xué)”，可這兩者的關(guān)注點(diǎn)差別很大。“斷裂力學(xué)”可處理線性到非線性，以及脆斷到撕裂的問題，但它最終關(guān)注的是如何表達(dá)裂紋尖端的力學(xué)特性，所以,一般而言它著眼于單一孤立構(gòu)件的“局部”，其方法不能提供與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間相互影響的關(guān)系；而“結(jié)構(gòu)力學(xué)”已可對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行非線性極限分析，但在其“整體”中無法涉及如裂紋這樣的損傷，即對(duì)局部的地方出現(xiàn)的裂紋損傷的力學(xué)特性如何表現(xiàn)顯得無能為力。通用的三維有限元方法從原理上似乎可以將上述所謂“整體”和“局部”放在一起求解，但因裂紋尖端奇異性特點(diǎn)，僅對(duì)單一裂紋構(gòu)件和裂紋尖端單元網(wǎng)格的密分?jǐn)?shù)據(jù)量就已非常可觀，與之相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的其它構(gòu)件則因此很難再考慮。非常大的建模工作量和數(shù)據(jù)量使得對(duì)海洋工程平臺(tái)這樣復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的求解變得非常困難。由此產(chǎn)生了研究和開發(fā)一個(gè)具有有限元特點(diǎn)的含裂紋影響的理想化單元的設(shè)想。通過一個(gè)單元來包含裂紋影響的力學(xué)信息，使單元網(wǎng)格劃分最大限度地減少，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體的分析評(píng)價(jià)。

目前國(guó)內(nèi)外尚不存在這樣一個(gè)完善的單元。由于材料科學(xué)的發(fā)展，高韌性材料被廣泛使用，在外力作用下，裂紋擴(kuò)展前，其前端附近將出現(xiàn)不能忽略的較大范圍的塑性區(qū)域，在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體分析中如何考慮這一影響也是一個(gè)新課題。

YAO等[1]介紹了裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的彈塑性分析方法，但由于不涉及斷裂力學(xué)的內(nèi)容，事實(shí)上只是采用了彈塑性結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析方法，以致因裂紋而引起的剛性降低，內(nèi)力再分配無法反映。EI-HADDAD等[2]雖然引入了斷裂力學(xué)的內(nèi)容，但因僅局限于線彈性范圍的靜止裂紋，自然塑性影響無法考慮。BRUST等[3]采用的簡(jiǎn)便方法，由于其推導(dǎo)基于指數(shù)型材料，故難以用于彈塑性增量矩陣法。劉松柏等[4]雖考慮了非靜定單一構(gòu)件邊界約束的強(qiáng)弱，但忽略了塑性變形與裂紋撕裂的內(nèi)在聯(lián)系，丟失了耦合關(guān)系，和文獻(xiàn)[3]的結(jié)果一樣只能是單一裂紋構(gòu)件的一種近似算法。藤久保昌彥等[5]采用了與文獻(xiàn)[2]相似的方法，通過能量釋放率將一個(gè)特殊的裂紋單元結(jié)合到一般的梁柱單元中，雖從中也可考慮裂紋前端塑性修正，但從理論上講仍應(yīng)是線彈性小塑性修正解，并且在全塑性條件下與塑性節(jié)點(diǎn)理論不協(xié)調(diào)，需要進(jìn)行人工干預(yù)，不利于完整意義上的計(jì)算機(jī)處理。

本文研究開發(fā)了可用于裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體計(jì)算的新的彈塑性裂紋單元，新的單元為彌補(bǔ)目前已有工作的不足，重點(diǎn)考慮了韌性材料在裂紋前端進(jìn)入較大范圍塑性時(shí)的彈塑性影響。本研究利用了SANDERS[6]周向壁穿裂紋彈塑性解析解，通過增量微分，獲得了節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與位移的顯式增量關(guān)系，進(jìn)而建立了彈塑性裂紋增量剛度方程，并將理論結(jié)果通過有限元分析方法，形成了一個(gè)新的特殊單元，為實(shí)現(xiàn)裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體分析奠定了理論基礎(chǔ)。

2 分析方法

分析模型為柱殼，其中無因次軸向坐標(biāo)為z，距原點(diǎn)的軸向距離為zR。設(shè)材料為理想彈塑性材料，裂紋損傷為周向壁穿裂紋，裂紋長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為2α，裂紋面保持全自由；載荷為施加橫截面彎矩，載荷作用方向取使裂紋張開的方向，即保持裂紋處于 Ⅰ 型裂紋破壞狀態(tài)(圖1、圖2)。

設(shè)參量ε的表達(dá)式為:

ε2=(h/R)[12(1-μ2)]-1/2

(1)

式中，μ為泊松比；R為柱殼中面半徑;h為板厚。

無因次載荷參數(shù):

(2)

式中，σF為材料的屈服應(yīng)力;M為作用彎矩。

圖1 計(jì)算模型

圖2 裂紋截面

2.1 基本理論

由于裂紋的存在，在載荷作用下，裂紋截面附近的截面呈較為復(fù)雜的應(yīng)力分布，實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真結(jié)果[7]表明裂紋在柱殼軸向上的影響有限，應(yīng)力分布從裂紋截面開始沿柱殼軸方向經(jīng)過大約1/5～1/4柱殼半長(zhǎng)的變化，就基本可收斂到相應(yīng)條件下的非裂紋柱殼的分布狀態(tài)，因此從整體上可作為梁考慮，這樣上述發(fā)生的變化可認(rèn)為主要是裂紋截面中性軸位置發(fā)生變化所致，裂紋和非裂紋截面在中性軸上的差距，形成一個(gè)附加的轉(zhuǎn)角。另外，在Ⅰ型裂紋彎矩載荷作用下，在截面拉應(yīng)力區(qū)的裂紋前端將出現(xiàn)拉應(yīng)力Dugdale塑性長(zhǎng)度，即圖2中β-α的長(zhǎng)度。隨著載荷作用，在截面壓應(yīng)力區(qū)，將可能出現(xiàn)類似的壓應(yīng)力塑性長(zhǎng)度，文獻(xiàn)[6]將此稱為壓應(yīng)力Dugdale塑性長(zhǎng)度，即圖2中的π-γ的長(zhǎng)度。SANDERS利用殼理論邊值解和Dugdale裂紋模型推導(dǎo)了裂紋附加轉(zhuǎn)角理論解，而且結(jié)果與軸向z坐標(biāo)無關(guān)，其表達(dá)式為：

(3)

式中，Θ為裂紋附加彎曲轉(zhuǎn)角；d可理解為裂紋對(duì)圓柱殼柔度的影響，其表達(dá)式如下:

(4)

Csinβ=β-α+sin(β-α)-

(5)

πc=-(β-γ+sinβcosβ-sinγcosγ)C-

(π-γ-sinγcosγ)G1+

2(sinα-sinβ-sinγ)+(π-γ)+(β-α)cosα+

cosβsin(β-α)-sinγcosγ

(6)

Psinx=Qcosx+β-α-σBsinβ

(7)

Q=-π+γ+σBsinγ

(8)

(9)

(10)

其中，Dugdale拉伸和壓縮塑性長(zhǎng)度β和γ，從式(11)的超越方程中求解。

(11)

式中，

N1=[sinβ-sinα+(β-α)cosβ]sinx-

N2=[sinγ-(π-γ)cosγ]sinx+

初始，壓縮塑性區(qū)域不出現(xiàn)時(shí)，γ=π，并由式(12)的不等式成立[8]，則只需通過式(11)第一式求出β即可，其第二式此時(shí)是自動(dòng)滿足的；當(dāng)式(12)的不等式不成立時(shí)，塑性壓縮長(zhǎng)度出現(xiàn)，γ<π。

(12)

2.2 裂紋附加轉(zhuǎn)角與彎矩的增量關(guān)系

式(3)是反映裂紋影響的主要等式，它不僅包含了裂紋存在的影響，而且由前述可知，裂紋截面的大范圍的塑性影響也計(jì)入其中，利用該式將可以有效解決本文引言中所提出的問題。由于上述非線性因素，從式(3)～式(11)顯然可知，裂紋附加轉(zhuǎn)角與彎矩的關(guān)系為隱式，故不宜用矩陣形式表達(dá)。另一方面，出于本研究的目的，對(duì)于非線性方程求解，運(yùn)用增量理論是必要的。故這里將推導(dǎo)上述相關(guān)公式的增量表達(dá)形式。對(duì)式(3)進(jìn)行分析，從Dugdale塑性長(zhǎng)度和彎矩的因果關(guān)系，可以認(rèn)為β和γ均應(yīng)是隨σB的變量，可以推導(dǎo)出裂紋附加轉(zhuǎn)角的增量表達(dá)式為:

(13)

經(jīng)整理可得另一種表達(dá)方式:

(14)

由上述對(duì)β和γ的考慮，同樣可對(duì)式(11)進(jìn)行微分計(jì)算，從而可得如下表達(dá)式:

(15)

將式(15)整理得到:

(16)

將式(16)代入式(14)，消去dβ和dγ組成的向量，可得：

(17)

2.3 裂紋單元增量剛度方程

如圖1所示，選擇裂紋左右截面分別為i′,j′兩節(jié)點(diǎn)。利用有限元梁柱理論可以將附加轉(zhuǎn)角與彎矩的關(guān)系寫成單元?jiǎng)偠确匠淌降男问?，?/p>

(18)

其中，

對(duì)于一般梁柱單元，由于剛度矩陣為常量，故其增量形式僅僅將內(nèi)力和位移向量改為增量寫法即可。

就海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)而言，通常殼長(zhǎng)度方向的尺度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于殼截面的最大尺度，因此采用梁?jiǎn)卧且粋€(gè)合理的選擇。設(shè)如圖1所示裂紋損傷的圓柱殼兩端節(jié)點(diǎn)分別為i和j，在運(yùn)用有限元計(jì)算進(jìn)行單元?jiǎng)澐謺r(shí)，可分為3個(gè)單元，第一個(gè)單元從柱殼左端到裂紋左截面，為i—i′單元，是一般梁?jiǎn)卧?；第二個(gè)單元從裂紋左截面到裂紋右截面，為i′—j′單元，為本文介紹的彈塑性裂紋單元(注意到該單元與長(zhǎng)度無關(guān))；第三個(gè)單元從裂紋右截面到柱殼右端,為j′—j單元，也為一般梁?jiǎn)卧?/p>

由于上述推導(dǎo)建立在有限元框架體系內(nèi)，由有限元理論，上述各單元可以進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝或與全體構(gòu)件的單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝，形成結(jié)構(gòu)整體的總體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，然后實(shí)施有限元計(jì)算。顯然，這里包含的是有限元單元族中節(jié)點(diǎn)數(shù)最少的單元，故形成的未知量也是目前有限元計(jì)算中最少的，自然對(duì)計(jì)算機(jī)資源的占用和建模處理等工作量也是最少的，從而使對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體計(jì)算成為可能。

當(dāng)裂紋截面進(jìn)入全截面塑性，不難推出有下式成立:

(19)

此時(shí)裂紋截面已形成塑性節(jié)點(diǎn)。在計(jì)算處理上只需將本裂紋單元去掉，然后用塑性節(jié)點(diǎn)取而代之，其后將與UEDA等[9]的塑性節(jié)點(diǎn)法或YAO的計(jì)算[1]構(gòu)成無縫相接，進(jìn)一步實(shí)施裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極限分析計(jì)算。從理論上講，兩者之間的這一過渡具有一致性，從而回避了由于理論上的不一致所帶來的計(jì)算上的人為處理，有利于計(jì)算機(jī)的高效編程和運(yùn)算。

3 精度的定性分析

從推導(dǎo)過程看，解的誤差主要來自SANDERS的理論解，而SANDERS理論解的主要誤差來源是殼半膜理論和斷裂力學(xué)中的Dugdale模型。

另一方面，來自Dugdale模型的誤差主要是因?yàn)樗苄耘袛嗍褂玫氖菃屋S應(yīng)力條件,并且忽略了塑性區(qū)域沿軸向的擴(kuò)展，因此所獲得的塑性長(zhǎng)度常常會(huì)偏長(zhǎng)，但Dugdale模型巧妙地通過線性結(jié)果疊加消除裂紋尖端奇異性的辦法實(shí)現(xiàn)了對(duì)彈塑性非線性問題的求解，避免了復(fù)雜數(shù)學(xué)推導(dǎo)，目前仍是一種公認(rèn)的非常有效的方法。其誤差所帶來的結(jié)果也是偏于安全的。

在前述整個(gè)公式體系中，基本上是對(duì)式(3)～式(11)的微分，即是一個(gè)正向運(yùn)算過程，故一般不存在計(jì)算上的特別的困難。剩余的計(jì)算是增量有限元的常規(guī)計(jì)算。

4 結(jié) 論

本文研究開發(fā)了可用于裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體計(jì)算的新的彈塑性裂紋單元，重點(diǎn)考慮了韌性材料在裂紋前端進(jìn)入較大范圍塑性時(shí)的彈塑性影響，形成了一個(gè)新的特殊單元，為實(shí)現(xiàn)裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體分析奠定了理論基礎(chǔ)。獲得了以下結(jié)論：

1) 利用SANDERS周向壁穿裂紋彈塑性解析解，通過增量微分運(yùn)算，獲得了內(nèi)力與位移的顯式增量關(guān)系。

2) 建立了彈塑性裂紋增量剛度方程，形成了節(jié)點(diǎn)或未知數(shù)最少的彈塑性裂紋單元，依有限元分析方法，該單元可方便地和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中其它有限元單元進(jìn)行組合裝配并實(shí)施整體計(jì)算。

3) 定性誤差分析表明對(duì)于海洋平臺(tái)的主要結(jié)構(gòu)，其誤差為可控。

4) 整個(gè)公式體系中，基本上是微分的正向運(yùn)算，故一般不存在計(jì)算上的特別的困難。

5) 該單元的計(jì)算可與塑性節(jié)點(diǎn)法無縫相接，進(jìn)行裂紋損傷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極限分析，實(shí)現(xiàn)了兩者在理論上的一致性，回避了在計(jì)算上的人為處理，有利于進(jìn)一步提高計(jì)算機(jī)的計(jì)算效率。

作為下一步的工作，該研究將進(jìn)一步考慮裂紋擴(kuò)展的影響、擴(kuò)充組合載荷條件下的單元并且完成該單元的定量精度校核。

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