利用數(shù)形結(jié)合思想解數(shù)學(xué)題

摘要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。本文利用數(shù)與形的結(jié)合解決數(shù)學(xué)中的一些問題，能夠直觀而形象地解決一些較為復(fù)雜的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；抽象；直觀；應(yīng)用

引在研究過程中發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中有重要的指導(dǎo)意義，這種\"數(shù)\"與\"形\"的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，即數(shù)量問題和圖象性質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的，這不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。

1 代數(shù)問題用幾何方法解決

數(shù)與形在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題往往有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可以使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論。

例1 求方程2Sinx=x解的個(gè)數(shù)

可以看出當(dāng)x>2和x<－2時(shí)這兩個(gè)函數(shù)不可能有交點(diǎn)，而當(dāng)－２?燮x?燮２時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)。顯然方程Sinx=2x解的個(gè)數(shù)即是這兩個(gè)函數(shù)y=sinx ，y=2x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，據(jù)數(shù)形結(jié)合知它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3，故原方程有3個(gè)不同的解. 此題如果用其它一般的求方程的方法來求是不適宜的，例如通過移項(xiàng)，兩邊同時(shí)乘，除同一數(shù)，平方，開方，積分，微分等常用的解方程的方法將無濟(jì)于事。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分段的討論又將很復(fù)雜，而且很容易就出錯(cuò)，甚至得不出正確的結(jié)果。但是用了數(shù)形結(jié)合的方法卻清晰，快速，準(zhǔn)切地求出了答案。

例2求在圓(x-1)2+(x-2)2=1上的點(diǎn)到直線

的最大值與最小值.

分析:本題完全可以用代數(shù)的方法，即先求出圓上任意一點(diǎn)到直線的距離關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式去求的最大值與最小值.在做的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算非常的復(fù)雜，而且在去掉絕對(duì)值時(shí)需要進(jìn)行討論正數(shù)還是負(fù)數(shù)，可以說過程是復(fù)雜易錯(cuò).

但如果建立直角坐標(biāo)系，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以知道盡管圓上的點(diǎn)到直線的距離可能不同，但圓心到直線的距離是固定不變的，再根據(jù)三角形不等式的性質(zhì)，判斷出(如下圖所示)所求最大值為點(diǎn)到直線的距離，最小值為點(diǎn)到直線的距離.

因此數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化。

2 幾何問題用代數(shù)方法解決

在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時(shí)，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢(shì)盡快地得到解決問題的途徑，因?yàn)橥恍﹫D形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使問題得到解決。這對(duì)提高分析問題和解決問題能力的提高將有極大幫助。

例3 求由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。

解：作出它的草圖:，

得交點(diǎn)A(2，-2)，B(8，4).

一般地，我們習(xí)慣選擇x為積分變量，但從圖形中可以看出，若選x為積分變量，則需要所求圖形的面積分成兩塊，即將分為兩個(gè)積分區(qū)間:[0，2]和[2，8]，并且求出當(dāng)y>0和y<0時(shí)y=f(x)函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系用定積分求出在這兩個(gè)區(qū)間的面積之和，這種過程就比較復(fù)雜.

如果選擇y作積分變量，y∈[-2，4]，任取一個(gè)子區(qū)間[ y， y + dy]∈ [-2，4]，

數(shù)形結(jié)合解題就是在解決與幾何問題有關(guān)的問題時(shí)，將圖像信息轉(zhuǎn)換為代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

3 數(shù)形結(jié)合可使抽象的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，有時(shí)可取到事倍功半的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

例4已知|Z|=1， 求ω=2Z+2+i的幅角主值范圍

在數(shù)學(xué)解題中，方法至關(guān)重要，這對(duì)于節(jié)省時(shí)間，提高效率，煅煉能力有重要的作用。運(yùn)用形數(shù)結(jié)合解題，產(chǎn)生較好的效果。它可以使我們進(jìn)一步提高解題興趣，激活思維，開闊思路，提高綜合運(yùn)用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數(shù)學(xué)素質(zhì)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。平時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)這種思想意識(shí)，爭(zhēng)取見數(shù)想形，以開拓視野。

數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合。巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，不僅能直觀地發(fā)現(xiàn)解題的途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題的過程.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！?/p>

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