混沌初開

劉　瑋

浪花翻滾的大海邊，皓天和鵬飛研究著曼德布羅特的《自然界中的分形幾何學(xué)》書中的幾個(gè)分形圖。

皓天感到非?？鞓?，他已經(jīng)會(huì)計(jì)算分形圖的維數(shù)了?！熬拖裼?jì)算那個(gè)鏤空三角形一樣，將量尺放大為原來的2倍，得到3個(gè)原始小三角形，那么無(wú)窮鏤空的自相似三角鏤墊的維數(shù)就是1.5850；對(duì)于那個(gè)正方形鏤墊，可將尺放大到原來的3倍，得到8個(gè)小正方形，它的維數(shù)是1.8928；那個(gè)立方體無(wú)窮鏤墊叫‘海綿，尺放大3倍后得到20個(gè)小立方體，它的維數(shù)是2.7268?！?/p>

鵬飛看到皓天搞懂了分形維數(shù)，按捺住喜悅的心情，說道：“大自然復(fù)雜著呢，處處都存在著分形，且多是不規(guī)則分形，規(guī)則分形只是一種近似！”

皓天驚詫了：“平時(shí)我們?cè)趺礇]看到那么多分形？”

鵬飛指著身旁的大海：“你看那撲打在巖石上的浪花，大浪花里有小浪花，小浪花里還有更小的浪花……我們之所以沒注意到那些分形，是因?yàn)槲覀兌紝⒖陀^事物平滑化、理想化了，忽略了許多看來次要的因素。”

“海岸線不是圓圈，浮云也不呈球形，山峰不是錐體，樹皮不是光滑的，閃電從不沿直線行進(jìn)，樹枝、河流水系分支、星系分布、大腦皮層褶皺、肺部支氣管分支及血液微循環(huán)管道等等，大自然的面貌是豐富多彩的，只有用分形去描述才最方便、最適宜。當(dāng)然，這些只是空間形態(tài)上的分形，還有很多事物發(fā)展會(huì)在時(shí)間上形成分形，比如說，人口問題。”

皓天沒想到人口問題也這么復(fù)雜：“我想起一道中學(xué)數(shù)學(xué)趣題：一對(duì)成年兔子，一個(gè)月就生下一對(duì)小兔子，這一對(duì)小兔子一個(gè)月后也會(huì)生下一對(duì)小兔子，那么一年后，由那一對(duì)老兔子就能繁衍成211=2048對(duì)兔子！如果沒有人為的干涉，那么人口也是這樣增加的嗎？”

鵬飛笑了笑：“照這種算法，兩年后滿地球就都是兔子了，更不用說還有老鼠、蒼蠅、毒蛇之類，人根本沒法生存啦！這正是英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯的觀點(diǎn)，他認(rèn)為生物是按幾何級(jí)數(shù)增加的?！?/p>

皓天也笑了起來：“對(duì)了，我從政治課上學(xué)到了19世紀(jì)初馬爾薩斯的人口論，他對(duì)自己的這個(gè)預(yù)言也很吃驚，他認(rèn)為必須靠戰(zhàn)爭(zhēng)、瘟疫等來遏制人口增長(zhǎng)。這個(gè)觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的。”

鵬飛大笑道：“哈哈，荒謬！照這樣，兔子也要發(fā)動(dòng)戰(zhàn)爭(zhēng)了！對(duì)了，今天下午科學(xué)院有個(gè)講座，我們快回去聽一聽，或許你會(huì)有所收獲?！?/p>

皓天還在追問：“我們一邊走一邊談，你告訴我，我們應(yīng)該怎樣來預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng)呢？”

“1845年，荷蘭數(shù)學(xué)家馮哈斯特對(duì)馬爾薩斯的人口模型作了重要修正，給出了Logistics方程。這個(gè)方程考慮到了人口的增長(zhǎng)因素，也考慮到了制約人口增長(zhǎng)的因素，如食物、能源等，比較合理地描述了長(zhǎng)期人口增長(zhǎng)的情況?！?/p>

皓天第一次聽說這個(gè)方程：“這到底是一個(gè)怎樣的方程？”

“這個(gè)方程并不神秘，就是一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)：y=μx(1-x)，x為大于零小于1的數(shù)，表示某時(shí)候的人口相對(duì)數(shù)量，y表示一段時(shí)間后的人口量?！?/p>

皓天反應(yīng)很快，領(lǐng)會(huì)了這個(gè)方程的意圖：“這個(gè)函數(shù)只是兩項(xiàng)乘積，μx表示不考慮制約人口增長(zhǎng)因素時(shí)人口數(shù)量會(huì)按照一定比例增長(zhǎng)，而(1-x)表示環(huán)境制約因素對(duì)人口數(shù)量的縮減。這個(gè)方程也適應(yīng)于描述兔子、細(xì)菌之類的繁衍吧？”

鵬飛點(diǎn)點(diǎn)頭：“它就是種群數(shù)量預(yù)測(cè)方程，不過要長(zhǎng)期預(yù)測(cè),必須利用這個(gè)方程，不斷地循環(huán)迭代才能得到種群變化發(fā)展的圖線?！?/p>

皓天想起了他們一開始時(shí)討論的問題：“這與分形有什么關(guān)系？”

“對(duì)了，說了半天差點(diǎn)忘了主題。如果用手工去進(jìn)行迭代計(jì)算的話太慢了，我們用電腦來算一算吧。”

說話間，他們已經(jīng)回到科學(xué)院，下午講座的海報(bào)已經(jīng)張貼在門口：“決定與非決定”！

他們無(wú)心細(xì)看，急忙鉆入辦公室打開電腦，輸入logistics方程，鵬飛令μ=3并給出初始的值x=0.506127，讓電腦不斷地迭代計(jì)算，再讓電腦將數(shù)據(jù)畫出圖，然后再設(shè)x=0.506，讓電腦再做一遍，在同一個(gè)圖上畫出結(jié)果。因?yàn)閮纱屋斎氲某踔祹缀跸嗤?，兩條圖線也幾乎從相同的出發(fā)點(diǎn)開始，但兩條圖線的差別越來越大，最終竟毫不相近，曲線的擺動(dòng)也近乎是隨機(jī)的。

皓天感到非常驚訝：“真是失之毫厘，謬以千里??！”

鵬飛提醒皓天：“將這條曲線放大，在每一小段上也是波動(dòng)的，與整體的波動(dòng)情況也是相似的。”

皓天似有所悟：“原來人口變化等是隨時(shí)間變化的，而且這種變化也具有自相似性，這就是時(shí)間上的分形吧？”

“時(shí)間上的分形叫混沌，當(dāng)然混沌有它自己的特點(diǎn)，就是對(duì)初值具有高度敏感性。”

皓天：“一個(gè)簡(jiǎn)單的二次方程迭代后就能產(chǎn)生混沌，如果是一次方程就不會(huì)這樣了?？磥恚灰欠蔷€性方程就會(huì)產(chǎn)生混沌了。迭代本身就是一種演化，現(xiàn)實(shí)世界中線性的演化應(yīng)該是很少的，平常我們用線性來說明自然界的發(fā)展變化只是一種理想化的近似……”

鵬飛露出笑容：“你的理解很正確。天氣的變化就是由復(fù)雜的非線性因素決定的典型。美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲教授曾感嘆道，巴西的一只蝴蝶偶然拍打翅膀，就能夠在美國(guó)產(chǎn)生龍卷風(fēng)！”

皓天也被洛倫茲教授的這個(gè)比方逗笑了：“理論上會(huì)有這么嚴(yán)重！我猜那個(gè)講座與混沌有關(guān)，該休息一下準(zhǔn)備聽下午的講座了！”