帶電粒子在磁場運動中的難點分析

帶電粒子在磁場中的運動是高考的一大熱點。究其原因是因為能很好地考查學(xué)生分析問題和綜合運用知識的能力，特別是能很強地考查運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。但學(xué)生在處理這部分問題時，常遇到不少困難。下面就幾個主要的難點方面進行分析。

1 圓心難找

無論是求解時間還是求解半徑，往往需要先把圓心確定之后才能往下進行作圖分析，運用相關(guān)物理知識和數(shù)學(xué)知識進行求解。比較簡單的題目圓心很明確，稍難些的題目圓心就不容易確定。在明確磁場邊界的情況下，往往可通過粒子進入和離開磁場時速度的垂線來定圓心。

例1 如圖1所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強度大小可變，方向垂直紙面向里的磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊的中點O處，垂直磁場射入一速度大小為v0，方向跟ad邊夾角α=30°的帶電粒子，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，ad邊長為L，ab足夠長，重力忽略不計。求：

(1)粒子能從ab邊射出所加的最小磁感應(yīng)強度；

(2)這時粒子在磁場中運動的時間。

解析 當(dāng)軌跡圓與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區(qū)域時軌跡圓半徑最大的情況，如圖2所示。

作入射速度v0和在切點Q處直線cd的垂線，交于O′點如圖3所示。過O點作v0的垂線，由題意知∠O O′Q=60°。設(shè)粒子運動的最大半徑為R，則應(yīng)有R=L。

由于O′Q⊥cd，ab和cd間的距離為L，所以O(shè)′點落在直線ab上。正確示意圖如圖4所示。

2 邊界難定

大量帶電粒子從不同方向發(fā)射，穿過某一磁場區(qū)域或打到某一板上，如何確定邊界點是又一難點。

粒子初速度方向不同，軌跡圓的圓心不同，但這些圓都經(jīng)過S點?，F(xiàn)在來作動態(tài)軌跡圓。

（1）以S為圓心，R=0.4m為半徑作圓，得到動態(tài)軌跡圓的圓心軌跡。如圖6中的T。

（2）再以T上各點為圓心，R為半徑作出一系列的軌跡圓，如圖6中的1、2、3、4、5、6。其中實線代表α粒子在磁場中的可能軌跡。通過所畫出的動態(tài)圓不難發(fā)現(xiàn)α粒子從bb′側(cè)出射時的最高點Q恰與磁場右邊界相切的情形，如圖6中的5。從bb′線上出射的最低點P為沿aa′方向射出的粒子，其軌跡圓恰好與磁場左邊界aa′相切，如圖6中的1。

設(shè)磁場右邊界與S正對點為B。則粒子從磁場右邊界bb′穿出的范圍為圖中PQ長度，如圖7所示。

由S點和出射處P點找到的圓心設(shè)為O1，由S點和出射處Q點找到的圓心設(shè)為O2，則可由幾何關(guān)系有：

點評 在畫半徑不變，圓心變動的動態(tài)圓時，首先明確以S為圓心，以粒子在磁場中運動的半徑為半徑畫出動態(tài)圓圓心的軌跡；其次是注意選取幾個點畫動態(tài)圓，通過所畫的動態(tài)圓能洞悉粒子打到板上的上、下或左、右最遠(yuǎn)點。注意分析最遠(yuǎn)點是否是直徑的另一端和相切情形，有些題目最遠(yuǎn)點并不一定是直線的另一端。

遷移與創(chuàng)新

2．S為電子源，它只能在圖8所示紙面上360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電量為e的電子。MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為OS=L；擋板左側(cè)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。若電子發(fā)射的速度為v=eBLm，則擋板被擊中的范圍多大?

3 情景模糊

若磁場未給出，粒子如何運動其情景比較模糊，粒子在磁場運動軌跡如何是需要進行仔細(xì)分析和推斷的，這對許多同學(xué)來說又是一大難點。如何突破呢?

例1 (1994全國考題)如圖9所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m、電量為q，以平行于x軸的速度v從y軸的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。

解析 質(zhì)量為m、帶電量為q的質(zhì)點垂直射入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，要受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動。設(shè)此圓半徑為R，則有

根據(jù)題意，帶電質(zhì)點從a射入與從b射出的兩個速度方向垂直，這表明質(zhì)點在磁場中偏轉(zhuǎn)了90°，即質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道應(yīng)是半徑為R的圓周的14圓弧。圓弧應(yīng)于入射和出射方向相切。此段圓弧可用作圖確定。

過a作與x軸平行的直線，過b作與y軸平行的直線，兩直線的交點為O′，如圖10所示。由切線定理可知，粒子入、出磁場的位置M、N到O′，點的距離必定相等。由于半徑與速度方向垂直，可作出離子圓周運動的圓心O。則由此可畫出過MN兩點的圓弧MN。

要求的最小磁場區(qū)域應(yīng)是以M、N兩點為直徑的圓。故所求的磁場區(qū)域的最小半徑為

點評 通過上面的分析和解答可以看出問題的關(guān)鍵是確定出入兩點的位置。分析中用到了切線定理，使得比較抽象的問題化為較為直觀的情景。

遷移與創(chuàng)新

3．一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從O點沿y軸的正方向射入磁感應(yīng)強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正向夾角30°，如圖11所示。粒子的重力不計。試求：

(1)圓形磁場區(qū)域的最小面積；

(2)若粒子從O點就進入磁場區(qū)域，到達b點所經(jīng)歷的時間。

4 想象不出正確的立體情景

例4 如圖12所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q的靜止帶電粒子，經(jīng)電壓U加速之后，射入與其運動方向一致的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，在途中與一硬質(zhì)薄塑料平板發(fā)生無動能損失的碰撞，碰后速度方向變?yōu)樨Q直向上，最后粒子運動到C板，已知平板與水平方向成45°角，AC=s，求粒子從A板運動到C板所用的時間。



析與解 對粒子在電場中加速的過程中，由動能定理有

粒子進入磁場后，由于速度v的方向平行于磁場方向，所以粒子做勻速直線運動，途中與塑料板發(fā)生碰撞，碰撞 后速度方向豎直向上，這樣粒子將受到洛倫茲力作用，在垂直于磁場方向的平面內(nèi)做勻速圓周運動，一周后又與塑料板的反面發(fā)生無能量損失的碰撞，碰后粒子沿B的方向做勻速直線運動到C板，如圖13所示。故粒子從A板運動到C板的時間為

點評 許多同學(xué)搞不清粒子在磁場中作怎樣的運動，因而無法對題目進行破解。如果能夠根據(jù)粒子與板左側(cè)碰后運動方向，從而確定受力方向和圓心位置，規(guī)范畫出粒子跟板左側(cè)碰后所作的圓周運動，此題便可迎刃而解。

遷移與創(chuàng)新

4．如圖14所示，在A、B之間有2n塊硬質(zhì)塑料板(不導(dǎo)電，厚度不計)互成直角如圖14所示。質(zhì)量為m的質(zhì)子從A板上的P點對著硬質(zhì)板的中點水平射入A、B之間，初速度為v0，由于A、B間有水平向右的勻強磁場，使得質(zhì)子最后都垂直從B穿出(所在碰撞均無機械能的損失)，為了滿足要求，試求質(zhì)子從A到B的運動時間。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。